이항분포(binomial distribution)는 일정한 성공 확률 \( p \)를 가진 베르누이 시행을 \( n \)번 반복할 때, 성공 횟수 \( X \)의 확률분포입니다. 이때, 이항분포의 분산은 \( \text{Var}(X) = npq \)로 주어지며, 여기서 \( q = 1 – p \)입니다. 본 글에서는 이 공식이 나오는 이유를 수학적으로 설명하고, 그 의미와 직관을 살펴보겠습니다.
1. 이항분포의 정의
이항분포는 다음 조건을 만족하는 확률변수의 분포입니다:
- 독립적인 시도 \( n \)번
- 각 시도에서 성공 확률 \( p \), 실패 확률 \( q = 1 – p \)
- 성공한 횟수 \( X \)가 확률변수
이때 확률질량함수는 다음과 같습니다:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n – k} \quad (k = 0, 1, …, n) \]
2. 이항분포의 기댓값
기댓값은 다음과 같이 계산됩니다:
\[ E[X] = np \]
이는 성공 확률이 \( p \)인 시도를 \( n \)번 했을 때, 평균적으로 \( np \)번 성공한다는 의미입니다.
3. 분산 유도 방법: 독립 베르누이 변수의 합
이항분포 \( X \)는 다음과 같은 베르누이 확률변수들의 합으로 표현할 수 있습니다:
\[ X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \]
여기서 각 \( X_i \)는 성공 시 1, 실패 시 0을 가지는 베르누이 변수이며, \( E[X_i] = p, \; \text{Var}(X_i) = pq \)입니다.
독립 변수들의 합의 분산은 각 분산의 합이므로,
\[ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = n \cdot pq \]
따라서,
\[ \text{Var}(X) = npq \]
4. 직관적인 해석
분산은 확률변수가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 측정하는 값입니다. 성공 확률이 \( p \)일 때, 실패 확률 \( q = 1 – p \)도 함께 고려되어야 하므로, \( pq \)는 “불확실성”의 척도라 볼 수 있습니다. 여기에 \( n \)을 곱하면 전체 시행의 퍼짐 정도가 반영됩니다.
즉:
- \( p = 0 \) 또는 \( p = 1 \): 항상 실패 또는 성공 → 분산 0
- \( p = 0.5 \): 가장 불확실한 경우 → 분산 최대
결론
이항분포 구조
베르누이 시행을 \( n \)번 반복한 성공 횟수를 다룹니다.
기댓값
평균적으로 \( np \)번 성공하는 값을 가집니다.
분산 유도
독립 베르누이 변수의 분산 \( pq \)를 \( n \)번 더해 \( npq \)가 됩니다.
직관적 의미
확률의 불확실성을 나타내는 \( pq \)에 시행 수 \( n \)을 곱한 형태로 해석할 수 있습니다.
이항분포의 분산 \( npq \)는 수학적으로 엄밀하면서도 직관적으로도 자연스럽게 받아들여지는 공식으로, 확률론과 통계학에서 핵심적인 역할을 합니다.