정답
\(\kappa(1)=\dfrac{1}{2},\quad |\tau(1)|=\dfrac{1}{3}\)
출제 의도
단위속력 곡선에서 주어진 내적 조건들을 프레네-세레 공식을 이용해 곡률과 비틀림에 대한 미분방정식으로 바꾸고, 이를 풀어 특정 점에서의 곡률과 비틀림의 값을 구하는 문제이다.
풀이 과정
단위속력 곡선 \(\alpha(s)\)에 대해 접벡터 \(T(s)=\alpha'(s)\), 법선벡터 \(N(s)\), 종법선벡터 \(B(s)\)에 대해 프레네-세레 공식은 다음과 같다.
$$ T’=\kappa N,\qquad N’=-\kappa T+\tau B,\qquad B’=-\tau N $$
먼저 조건 \(\alpha(s)\cdot \alpha'(s)=0\)을 \(s\)로 미분한다.
$$ \frac{d}{ds}\big(\alpha\cdot\alpha’\big) =\alpha’\cdot\alpha’ + \alpha\cdot\alpha” = 0 $$
단위속력 곡선이므로 \(|\alpha’|=1\)에서 \(\alpha’\cdot\alpha’=1\)이고, \(\alpha”=T’=\kappa N\)이므로
$$ 1 + \alpha\cdot(\kappa N)=0 \quad\Rightarrow\quad \kappa\,(\alpha\cdot N)=-1 $$
문제에서 \(\alpha(s)\cdot N(s)=-2s^2\)이므로
$$ \kappa(s)(-2s^2)=-1 \quad\Rightarrow\quad \kappa(s)=\frac{1}{2s^2} $$
따라서
$$ \kappa(1)=\frac{1}{2} $$
이제 비틀림을 구한다. \(\alpha\cdot N=-2s^2\)을 다시 미분하면
$$ \frac{d}{ds}(\alpha\cdot N) =\alpha’\cdot N + \alpha\cdot N’ = -4s $$
여기서 \(T\cdot N=0\)이므로 \(\alpha’\cdot N=0\)이고, \(N’=-\kappa T+\tau B\)이므로
$$ \alpha\cdot N’=\alpha\cdot(-\kappa T+\tau B)=\tau(\alpha\cdot B) $$
따라서
$$ \tau(s)(\alpha\cdot B) = -4s \qquad (1) $$
\(y(s)=\alpha(s)\cdot B(s)\)라고 두자. 이제 \(y(s)\)에 대한 미분 방정식을 얻기 위해 \(y(s)\)를 미분한다.
$$ y'(s)=\frac{d}{ds}(\alpha\cdot B) =\alpha’\cdot B + \alpha\cdot B’ $$
\(T\cdot B=0\)이므로 \(\alpha’\cdot B=0\), 또 \(B’=-\tau N\)이므로
$$ y'(s)=\alpha\cdot(-\tau N)=-\tau(\alpha\cdot N) =-\tau(-2s^2)=2\tau s^2 \qquad (2) $$
(1)식에서 \(\tau = -\dfrac{4s}{y}\) 이므로 이를 (2)에 대입하면
$$ y’ = 2\left(-\frac{4s}{y}\right)s^2 = -\frac{8s^3}{y} $$
따라서
$$ y\,y’ = -8s^3 $$
양변을 적분하면
$$ \frac{1}{2}y^2 = -2s^4 + C \quad\Rightarrow\quad y^2 = -4s^4 + C’ $$
조건 \(y(1)=\alpha(1)\cdot B(1)=12\)을 이용하면
$$ 12^2 = 144 = -4(1)^4 + C’ \Rightarrow C’ = 148 $$
따라서
$$ y^2(s)=148-4s^4 $$
특히 \(s=1\)에서 \(y(1)=12\)이므로, (1)식에서
$$ \tau(1)\cdot 12 = -4\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad \tau(1)=-\frac{1}{3} $$
따라서 비틀림의 절댓값은
$$ |\tau(1)| = \frac{1}{3} $$
정리하면
$$ \kappa(1)=\frac{1}{2},\qquad |\tau(1)|=\frac{1}{3} $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>