정답
식 (1)에서 저기압의 발달·쇠퇴에 직접 관련된 항은 \(f_0\dfrac{\partial \omega}{\partial p}\) 이고, 이 항의 규모는 \(\sim 10^{-9}\,\text{s}^{-2}\) 이다. A 기압골의 이동 속도가 B보다 빠르다.
출제 의도
중간 규모 준지균 소용돌이도의 방정식에서 각 항의 물리적 의미를 파악하고, 특히 소용돌이도의 시간 변화와 저기압의 발달·쇠퇴를 결정하는 연직 운동(기둥의 신장·압축) 항의 상대적 크기를 규모 분석으로 추정할 수 있는지를 평가한다. 또한 실제 일기도에서 서로 다른 위도에 위치한 기압골의 이동 속도 차이를, 식 (1)의 항들(특히 β 항)과 연계하여 설명할 수 있는지를 묻는다.
풀이 과정
식 (1)은 준지균 상대 소용돌이도 \(\zeta_g\)의 국지 변화를 나타낸 식이다.
$$ \frac{\partial \zeta_g}{\partial t} = -\overline{\mathbf{V}_g}\cdot\nabla \zeta_g – v_g \beta + f_0\frac{\partial \omega}{\partial p} $$
마지막 항 \(f_0\dfrac{\partial \omega}{\partial p}\) 는 연직 운동 \(\omega\)에 의해 공기 기둥의 두께가 변하면서(신장·압축) 소용돌이도가 변화하는 항이다. 공기 기둥이 신장되면(상승, \(\omega <0\)) 소용돌이도가 증가하여 저기압이 발달하고, 압축되면(하강, \(\omega >0\)) 소용돌이도가 감소하여 저기압이 쇠퇴한다. 따라서 식 (1)에서 저기압의 발달·쇠퇴와 직접 관련된 항은 \(f_0\dfrac{\partial \omega}{\partial p}\) 이다.
이 항의 크기를 규모 분석으로 추정해 보자. 중위도 500 hPa 부근에서 대표값을
\(f_0 \sim 10^{-4}\,\text{s}^{-1}\), \(|\omega| \sim 10^{-1}\,\text{Pa s}^{-1}\) (강한 상승/하강), \(\Delta p \sim 10^4\,\text{Pa}\) (약 100 hPa 두께)
라고 두면
$$ f_0\frac{\partial \omega}{\partial p} \sim f_0 \frac{\omega}{\Delta p} \sim 10^{-4}\times\frac{10^{-1}}{10^{4}} =10^{-9}\,\text{s}^{-2} $$
정도의 크기를 갖는다.
이제 그림의 500 hPa 일기도를 보면, A 기압골은 B보다 더 저위도(남쪽)에 위치해 있다. β(코리올리 파라미터의 북쪽 방향 변화량)는 \(\beta = \dfrac{\partial f}{\partial y} \propto \cos\varphi\) 이므로, 위도 \(\varphi\)가 낮을수록(저위도) β가 더 크다. 따라서 같은 남북향 지균 풍속 \(v_g\)가 불고 있을 때, 식 (1)의 두 번째 항 \(-v_g\beta\) 의 절댓값은 A에서 B보다 크다.
중규모에서 파동 패턴의 이동(기압골의 동진)은 주로 \(-v_g\beta\) 항과 \(\dfrac{\partial \zeta_g}{\partial t}\) 의 균형으로 설명된다. 같은 크기의 \(v_g\) 에 대해 β가 더 큰 A에서는 \(|-v_g\beta|\) 가 더 커서, 이를 상쇄하기 위한 \(\dfrac{\partial \zeta_g}{\partial t}\) (즉 파형의 시간 변화)가 더 크게 나타난다. 이는 곧 A 기압골의 파동 진행 속도가 B보다 빠르다는 것을 의미한다.
따라서 A와 B 중 동쪽으로 더 빨리 이동하는 것은 A이며, 그 이유는 A가 더 저위도에 있어 β 값이 커서, 식 (1)의 \(-v_g\beta\) 항에 의해 소용돌이도의 시간 변화가 더 크게 나타나기 때문이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>