정답
\(C_{V,m}=16\ \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1}\), \quad \(V_f = 0.40\ \text{m}^3\), \quad \(\Delta U_{C\to B}=+2592\ \text{J}\)이다.
출제 의도
이상기체의 단열 가역 팽창에서 일과 온도 변화, 내부에너지 변화의 관계를 이용하여 몰비열 \(C_{V,m}\)을 구하고, 단열 가역 과정의 엔트로피 변화가 0이라는 조건을 사용해 최종 부피를 계산하는 능력을 평가한다. 또한 정적 과정에서 내부에너지 변화 \(\Delta U = nC_V\Delta T\) 를 적용할 수 있는지 확인하는 문제이다.
풀이 과정
단열 가역 팽창 과정 A→C에서 기체가 한 일은
\[ W_{AC} = -2592\ \text{J} \]
이다. 이상기체의 단열 가역 과정에서
\[ W = nC_V(T_f-T_i) \]
이므로, 1 mol 기체에 대해
\[ -2592 = C_{V,m}(T_C – T_A) = C_{V,m}(162 – 324) = -162\,C_{V,m} \]
따라서
\[ C_{V,m} = \frac{2592}{162} = 16\ \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1} \]
이다.
단열 가역 팽창이므로 엔트로피 변화는
\[ \Delta S_m = 0 \]
이다. 이상기체의 엔트로피 변화 식은
\[ \Delta S_m = C_{V,m}\ln\frac{T_f}{T_i} + R\ln\frac{V_f}{V_i} \]
이므로, A→C에 대해 \(T_i = 324\ \text{K}\), \(T_f = 162\ \text{K}\), \(V_i = 0.10\ \text{m}^3\) 를 대입하면
\[ 0 = 16\ln\frac{162}{324} + 8\ln\frac{V_f}{0.10} = 16\ln\frac{1}{2} + 8\ln\frac{V_f}{0.10} \]
\[ 8\ln\frac{V_f}{0.10} = -16\ln\frac12 = 16\ln 2 \]
\[ \ln\frac{V_f}{0.10} = 2\ln 2 = \ln 4 \quad\Rightarrow\quad \frac{V_f}{0.10} = 4 \]
따라서
\[ V_f = 0.40\ \text{m}^3 \]
이다.
다음으로 C→B 과정은 부피가 \(V_f\) 로 일정한 정적(등적) 가열 과정이다. 내부에너지 변화는
\[ \Delta U_{C\to B} = nC_V(T_B – T_C) \]
이고, \(T_B = 324\ \text{K}\), \(T_C = 162\ \text{K}\), \(n=1\), \(C_{V,m}=16\) 이므로
\[ \Delta U_{C\to B} = 16(324-162) = 16\times 162 = 2592\ \text{J} \]
이다. 따라서 \(\Delta U_{C\to B}=+2592\ \text{J}\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>