정답
㉠ 기체의 밀도, ㉡ \(8\)
출제 의도
금지선이 관측되는 조건을 통해 성간 가스의 밀도 차이를 추론하는 능력과, 수소 원자의 에너지 준위 전이에 따른 방출선 파장 관계 및 우주론적 적색편이 식을 이용하여 관측 파장을 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
금지선은 밀도가 매우 낮아 충돌 탈여기(비복사 전이)가 거의 일어나지 않을 때 관측된다. 자료에서 행성상 성운처럼 가스의 어떤 물리량이 매우 낮아야 금지선이 관측된다고 하였고, 퀘이사 Q의 좁은 방출선이 넓은 방출선보다 이 물리량이 낮은 영역에서 생긴다고 했다.
이 물리량은 바로 가스의 밀도이다. 그러므로 ㉠은 ‘기체의 밀도’이다.
다음으로 수소선 파장을 이용하여 ㉡을 구한다. 수소 원자의 전자가 \(j\)번째 준위에서 \(i\)번째 준위로 천이할 때 방출선의 파장 \(\lambda\)는
$$ \lambda \propto \frac{1}{\left(\dfrac{1}{i^{2}}-\dfrac{1}{j^{2}}\right)} $$
Ly\(\alpha\)선은 \(j=2 \rightarrow i=1\) 천이이므로
$$ \Delta E_{\alpha} \propto \left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) = 1-\frac14=\frac34 $$
따라서
$$ \lambda_{1} \propto \frac{1}{3/4}=\frac{4}{3} $$
방출선 A는 \(j=4 \rightarrow i=2\) 천이이므로
$$ \Delta E_{A} \propto \left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right) =\frac14-\frac1{16}=\frac{3}{16} $$
따라서
$$ \lambda_{A,\text{rest}} \propto \frac{1}{3/16}=\frac{16}{3} $$
두 파장의 비는
$$ \frac{\lambda_{A,\text{rest}}}{\lambda_{1}} =\frac{16/3}{4/3}=4 $$
이므로, 실험실 계에서 방출선 A의 파장은 \(4\lambda_{1}\)이다.
적색 편이가 \(z=1\)인 퀘이사 Q에서 관측될 때 파장은
$$ \lambda_{\text{obs}} = (1+z)\lambda_{A,\text{rest}} =2 \times 4\lambda_{1}=8\lambda_{1} $$
따라서 ㉡에 들어갈 값은 \(8\)이다.