정답
확률변수 \(F(X)\)의 확률밀도함수는 \[ f_{F(X)}(y)= \begin{cases} 1, & 0<y<1,\\ 0, & \text{그 밖의 } y \end{cases} \] 이고, \[ \Pr(-2<\ln F(X)<1)=1-e^{-2} \] 이다.
출제 의도
연속 확률변수 \(X\)의 누적분포함수 \(F(x)\)가 연속이고 엄밀히 증가하면 \(F(X)\)가 \((0,1)\)에서 균등분포를 따른다는 사실(확률적 변환)을 이해하는지 평가한다. 이를 이용해 새로운 확률변수 \(\ln F(X)\)에 대한 확률을 계산하도록 하는 문제이다.
풀이 과정
먼저 확률변수 \(Y = F(X)\)의 분포를 구한다.
주어진 조건에 의해 \(F(x)\)는 연속이고 엄밀히 증가하는 함수이므로, 역함수 \(F^{-1}:(0,1)\to\mathbb{R}\)가 존재한다.
임의의 \(0\le y\le1\)에 대하여
$$ \begin{aligned} \Pr(Y\le y) &=\Pr\big(F(X)\le y\big) \\ &=\Pr\big(X\le F^{-1}(y)\big) \quad (\text{\(F\)가 증가이므로})\\ &=F\big(F^{-1}(y)\big)\\ &=y. \end{aligned} $$
따라서 \(Y=F(X)\)의 누적분포함수는
$$ G(y)=\Pr(Y\le y)= \begin{cases} 0, & y\le0,\\[2mm] y, & 0<y<1,\\[2mm] 1, & y\ge1 \end{cases} $$
이다. 미분하면 확률밀도함수는
$$ f_Y(y)=G'(y)= \begin{cases} 1, & 0<y<1,\\ 0, & \text{그 밖의 } y \end{cases} $$
가 된다. 즉 \(F(X)\)는 \((0,1)\)에서 균등분포를 따른다.
이제 \(\Pr(-2<\ln F(X)<1)\)을 구하자. \(Y=F(X)\sim \text{Uniform}(0,1)\) 이므로 \(0<Y<1\)이다. 사건
\[ -2<\ln Y<1 \]
에서 양변에 지수함수를 취하면 (단, \(0<Y<1\) 이므로 단조 증가성 유지)
$$ e^{-2} < Y < e^{1}=e $$
가 된다. 하지만 \(Y\le1\) 이므로 실제로는
$$ e^{-2} < Y < 1 $$
인 사건과 같다.
\(Y\)가 \((0,1)\)에서 균등분포이므로, 위 사건의 확률은 구간 길이와 같다.
$$ \Pr(-2<\ln F(X)<1) =\Pr(e^{-2}<Y<1) =1-e^{-2}. $$
따라서 확률밀도함수와 요구된 확률은 각각 위와 같다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>