정답
식 (1)의 명칭은 부력 진동수(브런트–바이살라 진동수)이며, 건조 공기에서 연직 온위 분포는 \( \dfrac{d\theta}{dz} = \dfrac{\theta}{T}(\Gamma_d-\Gamma) \), 산악풍하파의 파속은 \( U = \dfrac{\lambda}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{T}(\Gamma_d-\Gamma)} \), 정적 안정도는 A가 B보다 작다(B가 더 안정하다).
출제 의도
이 문제는 산악풍하파가 발생할 때 공기의 연직 진동수인 부력 진동수의 의미를 이해하고, 건조 공기에서 기온 감률과 단열 감률을 이용하여 온위의 연직 변화와 산악풍하파의 파속을 수식으로 나타낼 수 있는지를 평가한다. 또한 파장 차이와 진동수 관계를 이용해 두 영역의 정적 안정도를 비교하는 능력을 묻는다.
풀이 과정
자료에서 식 (1)은 산악풍하파에 따른 공기의 연직 방향 진동수 \(N\)을 나타내는 식이다.
$$ N \equiv \left(\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right)^{1/2} $$
이 식은 공기가 부력을 받아 상하로 진동하는 고유 진동수를 의미하므로, 식 (1)의 명칭은 부력 진동수(브런트–바이살라 진동수)이다.
다음으로 건조 공기에서 기온의 연직 분포와 온위의 연직 분포를 기온 감률 \( \Gamma \)와 건조단열 감률 \( \Gamma_d \)로 나타낸다. 기온 감률은
$$ \Gamma \equiv -\frac{dT}{dz} $$
이고, 건조 공기의 단열 상승 시 기온이 감소하는 비율을 건조단열 감률 \( \Gamma_d \)라고 한다.
건조 대기에서 부력 진동수는 잘 알려진 관계식
$$ N^2 = \frac{g}{T}(\Gamma_d – \Gamma) $$
으로도 쓸 수 있다. 이를 식 (1)의 정의
$$ N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{d\theta}{dz} $$
과 비교하면
$$ \frac{g}{\theta}\frac{d\theta}{dz} = \frac{g}{T}(\Gamma_d – \Gamma) $$
이므로 온위의 연직 분포는
$$ \frac{d\theta}{dz} = \frac{\theta}{T}(\Gamma_d – \Gamma) $$
와 같이 나타낼 수 있다. \( \Gamma < \Gamma_d \)일 때 \( d\theta/dz > 0 \)이 되어 정적 안정한 대기가 된다.
한편, 자료에서 “안정한 대기에서 산악풍하파의 진동수는 파장 \( \lambda \)와 파속 \( U \)로 구할 수 있다”고 하였으므로
$$ N = \frac{2\pi U}{\lambda} $$
와 같이 쓸 수 있다. 따라서 산악풍하파의 파속은
$$ U = \frac{N\lambda}{2\pi} $$
이고, 위에서 구한 \(N^2\)를 대입하면
$$ U = \frac{\lambda}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{T}(\Gamma_d – \Gamma)} $$
으로 쓸 수 있다. 이것이 기온 감률과 단열 감률을 포함한 산악풍하파의 파속 식이다.
이제 A와 B의 정적 안정도를 비교한다. 위성 사진에서 산악풍하파의 파장은 A에서가 B에서보다 크다고 주어져 있다. 즉
$$ \lambda_A > \lambda_B $$
이다. 자료에서 산악풍하파의 파속 \(U\)는 일정하다고 했으므로, 위의 관계식
$$ N = \frac{2\pi U}{\lambda} $$
에 따르면 파장이 클수록 진동수는 작다. 따라서
$$ N_A < N_B $$
가 된다.
부력 진동수 \(N\)는 정적 안정도의 세기를 나타내며, \(N^2 = \dfrac{g}{T}(\Gamma_d-\Gamma)\)에서 \(N^2\)가 클수록 \((\Gamma_d-\Gamma)\)가 커지고, 이는 온위의 연직 증가가 더 크다는 뜻이므로 더 안정한 대기이다.
그러므로 \(N_A < N_B\)는 A에서의 \((\Gamma_d-\Gamma)\)가 B보다 작다는 뜻이고, A보다 B가 더 정적으로 안정하다. 요약하면, A의 정적 안정도 < B의 정적 안정도이다.
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