정답
\(400\ \text{K}\)에서 \(A(s)\)의 몰융용 엔트로피 \(=37.5\ \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1}\), <과정 1>에서 엔트로피 변화 \(=7.62\ \text{J K}^{-1}\), <과정 2>에서 엔탈피 변화 \(=46.3\ \text{kJ}\)
출제 의도
온도에 따른 몰열용량 식을 적분해 엔탈피·엔트로피 변화를 구하고, 상변화(융해)에서는 잠열로부터 엔트로피와 엔탈피 변화를 계산하여 여러 구간(가열+융해+가열)을 합산할 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
융해(고체→액체)에서 몰융용 엔트로피는 \(\Delta S_\text{fus}=\dfrac{\Delta H_\text{fus}}{T}\)로 구한다. \(400\ \text{K}\)에서 \(\Delta H_\text{fus}=15\ \text{kJ mol}^{-1}\)이므로 이를 J로 바꿔 계산한다.
$$ \Delta S_\text{fus}(400\ \text{K}) =\frac{15\,000\ \text{J mol}^{-1}}{400\ \text{K}} =37.5\ \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1} $$
<과정 1>은 \(410\ \text{K}\)의 \(1\ \text{mol}\) 액체가 \(451\ \text{K}\)까지 가열되는 경우이며, 액체의 \(C_{p,m}=80\ \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1}\) (상수)이므로 엔트로피 변화는 \(\Delta S=\int \dfrac{C_p}{T}dT\)로 계산한다.
$$ \Delta S_1 =\int_{410}^{451}\frac{80}{T}\,dT =80\ln\!\left(\frac{451}{410}\right) =80\ln(1.10) \approx 7.62\ \text{J K}^{-1} $$
<과정 2>는 \(300\ \text{K}\)의 \(2\ \text{mol}\) 고체를 \(400\ \text{K}\)까지 가열한 뒤(고체), \(400\ \text{K}\)에서 융해시키고, 다시 \(430\ \text{K}\)까지 가열(액체)하는 3단계로 나누어 엔탈피 변화를 합한다.
$$ \Delta H_2 =2\left[\int_{300}^{400}(40+0.05T)\,dT+\Delta H_\text{fus}(400\ \text{K})+\int_{400}^{430}80\,dT\right] $$
먼저 고체 가열(300→400 K):
$$ \int_{300}^{400}(40+0.05T)\,dT =40(400-300)+0.05\cdot\frac{(400^2-300^2)}{2} $$
$$ =40(100)+0.025(160000-90000) =4000+1750 =5750\ \text{J mol}^{-1} =5.75\ \text{kJ mol}^{-1} $$
액체 가열(400→430 K):
$$ \int_{400}^{430}80\,dT =80(30)=2400\ \text{J mol}^{-1} =2.40\ \text{kJ mol}^{-1} $$
따라서 1 mol당 엔탈피 변화는 \(5.75+15.0+2.40=23.15\ \text{kJ mol}^{-1}\)이고, 2 mol이므로
$$ \Delta H_2=2\times 23.15=46.3\ \text{kJ} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>