정답
수용액 I: \( [A^{2+}]=\sqrt{K_{sp}\left(1+K_1[H^+]+K_1K_2[H^+]^2\right)}\).
수용액 II: \( [B^+]=[H^+]\sqrt{\dfrac{yK_1K_2}{[H_2X]}}\), 따라서 pH 6.0, \([H_2X]=0.1\)이면 \( [B^+]=10^{-6}\sqrt{10yK_1K_2}\).
출제 의도
난용성 염의 용해 평형과 음이온의 단계적 양성자화(산-염기 평형)를 결합하여 “자유 음이온 농도”를 구한 뒤, 이를 용해도곱에 대입해 금속 이온 농도를 유도하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
수용액 I에서 AX(s)가 포화이므로 용해 평형은 \(AX(s)\rightleftharpoons A^{2+}+X^{2-}\), \(K_{sp}=[A^{2+}][X^{2-}]\)이다. 또한 \(X^{2-}\)는 \(H^+\)에 의해 \(HX^-\), \(H_2X\)로 단계적으로 양성자화된다.
$$ K_1=\frac{[HX^-]}{[X^{2-}][H^+]}\ \Rightarrow\ [HX^-]=K_1[X^{2-}][H^+] $$
$$ K_2=\frac{[H_2X]}{[HX^-][H^+]}\ \Rightarrow\ [H_2X]=K_2[HX^-][H^+]=K_1K_2[X^{2-}][H^+]^2 $$
AX가 1:1로 녹으므로, 용해로부터 생긴 X의 총농도는 \( [A^{2+}] \)와 같고, 이는 \(X^{2-}\), \(HX^-\), \(H_2X\)의 합이다.
$$ [A^{2+}]=[X^{2-}]+[HX^-]+[H_2X] =[X^{2-}]\left(1+K_1[H^+]+K_1K_2[H^+]^2\right) $$
따라서
$$ [X^{2-}]=\frac{[A^{2+}]}{1+K_1[H^+]+K_1K_2[H^+]^2} $$
이를 \(K_{sp}=[A^{2+}][X^{2-}]\)에 대입하면
$$ K_{sp}=[A^{2+}]\cdot \frac{[A^{2+}]}{1+K_1[H^+]+K_1K_2[H^+]^2} =\frac{[A^{2+}]^2}{1+K_1[H^+]+K_1K_2[H^+]^2} $$
$$ [A^{2+}]=\sqrt{K_{sp}\left(1+K_1[H^+]+K_1K_2[H^+]^2\right)} $$
수용액 II에서는 \(B_2X(s)\rightleftharpoons 2B^+ + X^{2-}\)이고 \(K’_{sp}=y=[B^+]^2[X^{2-}]\)이다. 또한 문제에서 pH와 \([H_2X]\)를 각각 고정했으므로, 산-염기 평형으로부터 \([X^{2-}]\)를 \([H^+]\), \(K_1\), \(K_2\), \([H_2X]\)로 직접 나타낼 수 있다.
$$ K_2=\frac{[H_2X]}{[HX^-][H^+]}\ \Rightarrow\ [HX^-]=\frac{[H_2X]}{K_2[H^+]} $$
$$ K_1=\frac{[HX^-]}{[X^{2-}][H^+]}\ \Rightarrow\ [X^{2-}]=\frac{[HX^-]}{K_1[H^+]} =\frac{[H_2X]}{K_1K_2[H^+]^2} $$
이를 \(y=[B^+]^2[X^{2-}]\)에 대입하면
$$ y=[B^+]^2\cdot \frac{[H_2X]}{K_1K_2[H^+]^2} \Rightarrow [B^+]^2=y\frac{K_1K_2[H^+]^2}{[H_2X]} $$
$$ [B^+]=[H^+]\sqrt{\frac{yK_1K_2}{[H_2X]}} $$
특히 pH \(=6.0\Rightarrow [H^+]=10^{-6}\ \text{M}\), \([H_2X]=0.1=10^{-1}\ \text{M}\)이므로
$$ [B^+]=10^{-6}\sqrt{\frac{yK_1K_2}{10^{-1}}} =10^{-6}\sqrt{10yK_1K_2} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>