정답
\(\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{2}{3}\), (가)는 2차 반응, (나)는 1차 반응이다. 또한 활성화 에너지는 \(E_a=2RT\ln 4=4RT\ln 2\)이다.
출제 의도
1차·2차 반응의 적분 속도식에서 농도가 일정 비율로 감소하는 데 걸리는 시간의 비를 비교하여 반응 차수를 판별하고, 온도 변화에 따른 속도상수 변화로부터 아레니우스 식을 이용해 활성화 에너지를 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 조건에서 (가)와 (나)는 각각 1차 또는 2차 반응이며, 두 기체 \(A,C\)의 초기 농도는 모두 \(a\)이고 \(a/2\)가 되는 시간은 둘 다 \(b\)이다.
먼저 1차 반응에서 적분식은 \([X]=[X]_0e^{-kt}\)이므로 \(a\to a/2\)에 걸리는 시간(반감기)은
$$ \frac{a}{2}=ae^{-kb}\ \Longrightarrow\ e^{-kb}=\frac12\ \Longrightarrow\ b=\frac{\ln 2}{k} $$
따라서 1차 반응에서 \(a\to a/4\)는 반감기 두 번이므로
$$ t_1=2b $$
다음으로 2차 반응(단일 반응물)에서 적분식은 \(\dfrac{1}{[X]}=\dfrac{1}{[X]_0}+kt\)이다. \(a\to a/2\)가 \(b\)이므로
$$ \frac{1}{a/2}-\frac{1}{a}=kb \ \Longrightarrow\ \frac{2}{a}-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}=kb \ \Longrightarrow\ k=\frac{1}{ab} $$
이제 \(a\to a/4\)까지 시간 \(t_2\)는
$$ \frac{1}{a/4}-\frac{1}{a}=kt_2 \ \Longrightarrow\ \frac{4}{a}-\frac{1}{a}=\frac{3}{a}=kt_2 $$
$$ t_2=\frac{3/a}{k}=\frac{3/a}{1/(ab)}=3b $$
따라서
$$ \frac{t_1}{t_2}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3} $$
또한 \(t=b\) 이후의 농도를 비교하면, 1차는 \(t=2b\)에서 \(\,a/4\)가 되지만 2차는 \(t=2b\)에서 \(\,a/3\)이 되어(더 큰 농도) 시간이 지날수록 2차가 더 “천천히” 감소한다. 그래프에서 \(b\) 이후 위에 있는 곡선이 (가)이므로 (가)는 2차, (나)는 1차이다.
이제 “1차 반응”에서 온도를 \(T\to 2T\)로 올렸더니 \(a\to a/2\) 시간이 \(b\to b/4\)가 되었다. 1차에서 반감기 \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}\)이므로
$$ b=\frac{\ln 2}{k(T)},\qquad \frac{b}{4}=\frac{\ln 2}{k(2T)} $$
$$ \frac{k(2T)}{k(T)}=4 $$
아레니우스 식 \(k=Ae^{-E_a/(RT)}\)를 쓰면
$$ \ln\frac{k(2T)}{k(T)} =-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{2T}-\frac{1}{T}\right) =\frac{E_a}{2RT} $$
좌변이 \(\ln 4\)이므로
$$ \ln 4=\frac{E_a}{2RT}\ \Longrightarrow\ E_a=2RT\ln 4=4RT\ln 2 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>