정답
\(a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\displaystyle \langle L_z\rangle=\frac{\hbar}{6}\)이다.
출제 의도
이 문제는 구면조화함수로 전개된 각운동량 상태가 규격화(normalization) 조건을 만족하도록 계수를 결정할 수 있는지와, 각운동량 연산자 \(L_z\)의 고유값 성질을 이용하여 기댓값을 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 각운동량 상태는
\[ \Psi(\theta,\phi) = \sqrt{\frac{1}{3}}\,Y_1^{1} – i\sqrt{\frac{1}{6}}\,Y_1^{-1} + a\,Y_1^{0} \]
이다. 구면조화함수 \(Y_l^m\)들은 서로 직교하고 각각 규격화되어 있으므로, 전체 파동함수가 규격화되기 위한 조건은 각 계수의 절댓값 제곱의 합이 1이 되는 것이다.
\[ \left|\sqrt{\frac{1}{3}}\right|^2 +\left|\sqrt{\frac{1}{6}}\right|^2 +|a|^2 =1 \]
\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+a^2=1 \]
\[ \frac{1}{2}+a^2=1 \]
\[ a^2=\frac{1}{2} \]
문제에서 \(a\)는 양의 실수이므로
\[ a=\frac{1}{\sqrt{2}} \]
이다.
이제 각운동량의 \(z\)성분의 기댓값 \(\langle L_z\rangle\)를 구한다. \(L_z\) 연산자는 구면조화함수에 대해
\[ L_z Y_l^m = m\hbar\, Y_l^m \]
의 고유값 방정식을 만족한다. 따라서 기댓값은 각 상태의 확률과 고유값의 가중합으로 주어진다.
\[ \langle L_z\rangle =\hbar\left[ 1\cdot\frac{1}{3} +(-1)\cdot\frac{1}{6} +0\cdot\frac{1}{2} \right] \]
\[ \langle L_z\rangle =\hbar\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right) =\hbar\cdot\frac{1}{6} \]
따라서 이 계에서 각운동량의 \(z\)성분의 기댓값은
\[ \langle L_z\rangle=\frac{\hbar}{6} \]
이다.