정답
\(\displaystyle \varepsilon_{\text{바닥}}=\frac{3\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\), \(\displaystyle U(x,y,z)=-\frac{qE_0}{a}xy\), \(\displaystyle \varepsilon_{\text{바닥}}^{(1)}=-\frac{qE_0a}{4}\)이다.
출제 의도
3차원 무한 퍼텐셜 우물의 바닥상태 에너지를 1차원 결과의 합으로 구할 수 있는지, 주어진 전기장으로부터 전위를 구해 퍼텐셜 에너지로 변환할 수 있는지, 그리고 1차 섭동론에서 에너지 보정이 퍼텐셜 에너지의 기댓값으로 주어짐을 적용할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
3차원 정육면체 무한 퍼텐셜 우물에서 에너지 고윳값은 각 방향의 1차원 에너지의 합으로 주어진다. 바닥상태는 \((n_x,n_y,n_z)=(1,1,1)\)이므로 이를 이용해 \(\varepsilon_{\text{바닥}}\)을 구한다.
$$ \varepsilon_{n_xn_yn_z} =\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2) $$
$$ \varepsilon_{\text{바닥}} =\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}(1^2+1^2+1^2) =\frac{3\pi^2\hbar^2}{2ma^2} $$
이제 전기장 \(\vec E=(E_x,E_y,E_z)=\left(\frac{E_0}{a}y,\frac{E_0}{a}x,0\right)\)에 대해 정전기장이므로 \(\vec E=-\nabla\phi\)를 만족하는 전위 \(\phi\)를 구한다. 먼저
$$ \frac{\partial \phi}{\partial x}=-E_x=-\frac{E_0}{a}y $$
이므로
$$ \phi(x,y,z)=-\frac{E_0}{a}xy+f(y,z) $$
이다. 또한
$$ \frac{\partial \phi}{\partial y}=-\frac{E_0}{a}x+\frac{\partial f}{\partial y} $$
가 \(-E_y=-\frac{E_0}{a}x\)와 같아야 하므로 \(\frac{\partial f}{\partial y}=0\)이고, \(f=f(z)\)이다. 마지막으로 \(E_z=0\)이므로 \(\frac{\partial\phi}{\partial z}=0\)이어야 하여 \(f\)는 상수이다. \(\phi(0,0,0)=0\)에서 상수는 0이므로
$$ \phi(x,y,z)=-\frac{E_0}{a}xy $$
따라서 퍼텐셜 에너지는
$$ U(x,y,z)=q\phi(x,y,z)=-\frac{qE_0}{a}xy $$
이다.
이제 \(U\)를 섭동으로 볼 때 바닥상태의 1차 에너지 보정은
$$ \varepsilon_{\text{바닥}}^{(1)}=\langle \psi_{\text{바닥}}|U|\psi_{\text{바닥}}\rangle =-\frac{qE_0}{a}\langle xy\rangle $$
이다. \(\psi_{\text{바닥}}=\left(\frac{2}{a}\right)^{3/2}\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{a}\sin\frac{\pi z}{a}\)는 곱꼴이므로 \(\langle xy\rangle=\langle x\rangle\langle y\rangle\)로 분리된다.
$$ \langle x\rangle =\int_0^a\!\!\int_0^a\!\!\int_0^a x|\psi_{\text{바닥}}|^2\,dxdydz =\left(\frac{2}{a}\right)^3\left(\int_0^a x\sin^2\frac{\pi x}{a}\,dx\right) \left(\int_0^a \sin^2\frac{\pi y}{a}\,dy\right) \left(\int_0^a \sin^2\frac{\pi z}{a}\,dz\right) $$
주어진 적분값 \(\int_0^a x\sin^2\frac{\pi x}{a}dx=\frac{a^2}{4}\), \(\int_0^a\sin^2\frac{\pi x}{a}dx=\frac{a}{2}\)를 이용하면
$$ \langle x\rangle =\left(\frac{8}{a^3}\right)\left(\frac{a^2}{4}\right)\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right) =\frac{a}{2} $$
대칭으로 \(\langle y\rangle=\frac{a}{2}\)이므로
$$ \langle xy\rangle=\langle x\rangle\langle y\rangle=\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^2}{4} $$
따라서
$$ \varepsilon_{\text{바닥}}^{(1)} =-\frac{qE_0}{a}\cdot\frac{a^2}{4} =-\frac{qE_0a}{4} $$
가 된다.