정답
라그랑지안은 \(L=\dfrac{1}{2}(5m)\dot y^2-\dfrac{k}{2}(y-y_0)^2+5mgy+ \text{상수}\) 이고, \(y\)에 대한 운동방정식은 \(\displaystyle 5m\ddot y+k(y-y_0)=5mg\) 이다. 원반의 단진동 주기는 \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{5m}{k}}\) 이다.
출제 의도
이 문제는 여러 물체가 실과 스프링으로 연결된 계에서 자유도를 정리하여 하나의 일반화 좌표로 기술하고, 라그랑지안을 구성한 뒤 오일러–라그랑주 방정식으로 운동방정식을 유도하며, 평형점 부근의 단진동 주기를 구할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
계는 연직 방향으로만 운동하며 일반화 좌표로 원반 중심의 변위 \(y\)를 택한다. 실의 길이가 일정하므로, 원반이 아래로 \(y\)만큼 이동하면 왼쪽의 질량 \(2m\)과 오른쪽의 질량 \(m\)의 변위도 동일한 크기로 연동되어 결정된다. 따라서 모든 질점의 속도는 \(\dot y\)로 표현된다.
원반(질량 \(2m\)), 왼쪽 물체(질량 \(2m\)), 오른쪽 물체(질량 \(m\))의 운동에너지를 합하면
$$ T=\frac12(2m)\dot y^2+\frac12(2m)\dot y^2+\frac12(m)\dot y^2 =\frac12(5m)\dot y^2 $$
이다.
퍼텐셜 에너지는 중력 퍼텐셜과 용수철 퍼텐셜의 합이다. 문제에서 주어진 중력 퍼텐셜 에너지는
$$ U_g=-5mgy-mgy_1+c $$
인데, 실의 길이 제약으로 \(y_1\)은 \(y\)에 대해 상수 차이만큼만 변하므로 \(y\)에 무관한 상수항으로 흡수할 수 있다. 따라서 운동방정식에 영향을 주는 중력 퍼텐셜은 \(-5mgy\)이다.
용수철의 자연길이에서 \(y=y_0\)이므로, 용수철 퍼텐셜 에너지는
$$ U_s=\frac{k}{2}(y-y_0)^2 $$
이다.
따라서 계의 라그랑지안은
$$ L=T-U =\frac12(5m)\dot y^2-\frac{k}{2}(y-y_0)^2+5mgy+\text{상수} $$
가 된다.
이제 오일러–라그랑주 방정식을 적용한다.
$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot y}\right) -\frac{\partial L}{\partial y}=0 $$
이를 계산하면
$$ 5m\ddot y+k(y-y_0)-5mg=0 $$
즉,
$$ 5m\ddot y+k(y-y_0)=5mg $$
가 \(y\)에 대한 운동방정식이다.
평형점 \(y=y_{\text{eq}}\)는 \(\ddot y=0\)에서
$$ k(y_{\text{eq}}-y_0)=5mg $$
로 주어진다. 평형점에서의 작은 변위 \(\eta=y-y_{\text{eq}}\)에 대해 운동방정식은
$$ 5m\ddot\eta+k\eta=0 $$
가 되어 단진동임을 알 수 있다.
따라서 각진동수는
$$ \omega=\sqrt{\frac{k}{5m}} $$
이고, 원반의 진동 주기는
$$ T=2\pi\sqrt{\frac{5m}{k}} $$
이다.