정답
\(K=2k\sin\theta\), 인접한 극대 사이의 거리는 \( \Lambda=\dfrac{\pi}{k\sin\theta} \), 간섭 무늬의 이동 속력은 \( v=\dfrac{\delta\omega}{2k\sin\theta} \) 이다.
출제 의도
이 문제는 두 평면파의 간섭에서 공간적 위상차와 시간적 위상차를 정확히 계산하여 간섭항의 형태를 유도할 수 있는지, 그리고 간섭 무늬의 공간 주기와 이동 속도를 파수와 진동수 차이로 표현할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 두 전기장은
$$ \vec E_1 =E_0 e^{i k(-x\sin\theta+z\cos\theta)}e^{-i\omega t}\,\hat y, \qquad \vec E_2 =E_0 e^{i k'(x\sin\theta+z\cos\theta)}e^{-i(\omega+\delta\omega)t}\,\hat y $$
이다. 스크린은 \(z=0\)에 있으므로 그 위에서의 위상만 고려한다.
간섭항은 \( \vec E_1^{\,*}\!\cdot\vec E_2+\vec E_1\!\cdot\vec E_2^{\,*} \) 로 주어지며, 먼저 한 항을 계산하면
$$ \vec E_1^{\,*}\!\cdot\vec E_2 =E_0^2 e^{\,i[(k+k’)x\sin\theta-\delta\omega t]} $$
이다. 근사 조건 \(k’\simeq k\)를 사용하면
$$ \vec E_1^{\,*}\!\cdot\vec E_2 =E_0^2 e^{\,i(2k\sin\theta\,x-\delta\omega t)} $$
가 된다.
복소켤레 항을 더하면 전체 간섭항은
$$ \vec E_1^{\,*}\!\cdot\vec E_2+\vec E_1\!\cdot\vec E_2^{\,*} =2E_0^2\cos(2k\sin\theta\,x-\delta\omega t) $$
이므로 문제에서 제시한 형태 \( 2E_0^2\cos(Kx-\Omega t) \) 와 비교하면
$$ K=2k\sin\theta, \qquad \Omega=\delta\omega $$
이다.
간섭 무늬의 인접한 극대 사이의 거리는 위상 변화가 \(2\pi\)일 때의 \(x\) 변화량이므로
$$ K\Lambda=2\pi $$
에서
$$ \Lambda=\frac{2\pi}{K} =\frac{\pi}{k\sin\theta} $$
를 얻는다.
또한 간섭 무늬는 \( Kx-\Omega t=\text{상수} \) 를 만족하는 방향으로 이동하므로, 이동 속력은
$$ v=\frac{\Omega}{K} =\frac{\delta\omega}{2k\sin\theta} $$
이다.