정답
공명 진동수는 \( f=\dfrac{2\mu_z B_0}{h} \) 이고, \(B_0=1.0\,\mathrm{T}\)일 때 \( f=4.4\times 10^{7}\,\mathrm{Hz} \) 이다. 또한 \(8.8\times 10^{18}\,\mathrm{Hz}\) 광자의 에너지는 \(\Delta E\)의 \(2.0\times 10^{11}\)배이다.
출제 의도
이 문제는 핵스핀의 제만 분열에서 에너지 차이와 공명 조건 \(hf=\Delta E\)를 연결할 수 있는지, 주어진 상수값을 이용해 MRI의 라모어 공명 진동수를 수치로 계산할 수 있는지, 그리고 다른 영상 장비의 광자 에너지를 비교하여 스케일 차이를 정량적으로 판단할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
균일한 자기장 \(\vec B=B_0\hat z\)에서 자기 모멘트 \(\vec\mu\)를 가진 원자핵의 상호작용 에너지는
$$ H=-\vec\mu\cdot\vec B $$
이다. \(\hat z\)방향 성분만 고려하면 에너지는 두 양자 상태(스핀-업/스핀-다운)에 대해 \(\mu_z\)의 부호가 바뀌므로
$$ E_{\pm}=\mp \mu_z B_0 $$
로 쓸 수 있다. 따라서 두 상태의 에너지 차이는
$$ \Delta E=E_{+}-E_{-}=2\mu_z B_0 $$
이다.
자기 공명은 진동수 \(f\)의 전자기파가 이 에너지 차이를 정확히 맞출 때 일어나므로 공명 조건은
$$ hf=\Delta E $$
이다. 위의 \(\Delta E\)를 대입하면
$$ f=\frac{\Delta E}{h}=\frac{2\mu_z B_0}{h} $$
를 얻는다.
이제 자료값 \(h\simeq 4.0\times 10^{-15}\,\mathrm{eV\cdot s}\), \(\mu_z\simeq 8.8\times 10^{-8}\,\mathrm{eV/T}\), \(B_0=1.0\,\mathrm{T}\)를 대입하면
$$ f=\frac{2(8.8\times 10^{-8})(1.0)}{4.0\times 10^{-15}} =\frac{1.76\times 10^{-7}}{4.0\times 10^{-15}} =4.4\times 10^{7}\ \mathrm{Hz} $$
이다.
다음으로 진동수 \(8.8\times 10^{18}\,\mathrm{Hz}\)인 광자의 에너지는
$$ E=hf=(4.0\times 10^{-15})(8.8\times 10^{18}) =3.52\times 10^{4}\ \mathrm{eV} $$
이고, 한편 \(\Delta E\)는 \(B_0=1.0\,\mathrm{T}\)에서
$$ \Delta E=2\mu_z B_0=2(8.8\times 10^{-8})(1.0)=1.76\times 10^{-7}\ \mathrm{eV} $$
이므로 비는
$$ \frac{E}{\Delta E} =\frac{3.52\times 10^{4}}{1.76\times 10^{-7}} =2.0\times 10^{11} $$
따라서 해당 광자의 에너지는 \(\Delta E\)의 \(2.0\times 10^{11}\)배이다.