정답
\(A\)의 고윳값은 \(4, -2, -2\)이며, \(a_{11}+a_{12}+a_{13}=1\)이다.
출제 의도
이 문제는 선형변환이 주어진 벡터들에 작용하는 정보를 통해 고유벡터와 고윳값을 판별할 수 있는지, 그리고 행렬의 한 행의 합을 선형성에 기반하여 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 조건에서 다음과 같은 벡터 방정식이 성립한다.
$$ A\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\4\\8\end{pmatrix}, \quad A\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}, \quad A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix} $$
첫 번째 식에서
$$ \begin{pmatrix}4\\4\\8\end{pmatrix} =4\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} $$
이므로 \(\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\)는 고유벡터이고 대응하는 고윳값은 \(4\)이다.
두 번째 식에서는
$$ \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} $$
이므로 고윳값은 \(-2\)이다.
세 번째 식에서도
$$ \begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $$
가 성립하므로 고윳값 \(-2\)가 다시 한 번 얻어진다. 따라서 \(A\)의 고윳값은 \(4, -2, -2\)이다.
이제 \(a_{11}+a_{12}+a_{13}\)을 구한다. 이는 \(A\)의 첫 번째 행을 \((a_{11},a_{12},a_{13})\)라 할 때
$$ a_{11}+a_{12}+a_{13} =(a_{11},a_{12},a_{13})\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} $$
과 같다.
\(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)을 주어진 세 벡터의 선형결합으로 나타내면
$$ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} +\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $$
이므로 선형성을 이용하면
$$ A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}A\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} +\frac{1}{2}A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\4\\8\end{pmatrix} +\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix} $$
$$ =\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix} $$
따라서 첫 번째 성분이 바로 \(a_{11}+a_{12}+a_{13}\)이므로
$$ a_{11}+a_{12}+a_{13}=1 $$
이 된다.