정답
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=1\), \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}=\frac{3}{2}\)이다.
출제 의도
이 문제는 거듭제곱급수의 계수를 정확히 구하는 능력과, 두 급수의 계수 관계를 통해 극한을 판단하는 능력을 평가한다. 또한 생성함수 기법을 활용하여 무한급수의 값을 계산할 수 있는지를 묻는다.
풀이 과정
주어진 기본식에 따라 \(|x|<1\)에서
$$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n $$
이다. 이를 미분하면
$$ \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n x^{\,n-1} $$
양변에 다시 미분하여
$$ \frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{\,n-2} $$
가 된다. 이를 정리하면
$$ \frac{1}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n $$
이므로
$$ a_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2} $$
이다.
이제
$$ \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x(1+x)\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n $$
이므로 계수를 비교하면
$$ b_n=a_{n-1}+a_{n-2}\quad (n\ge2) $$
이다. 따라서
$$ \frac{b_n}{a_n} =\frac{\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}}{\frac{(n+1)(n+2)}{2}} =\frac{n(2n)}{(n+1)(n+2)} $$
이므로
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=1 $$
이제 무한급수를 계산한다. 위에서 얻은 식에 \(x=\frac{1}{3}\)을 대입하면
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n =\frac{1}{(1-\frac{1}{3})^3}=\frac{27}{8} $$
이를 전개하여 정리하면
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}=\frac{3}{2} $$
을 얻는다.