정답
\(p \times \dfrac{1}{q}=4\), \(\displaystyle P(X+Y \le 4 \mid Y-X=2)=\dfrac{4}{5}\)이다.
출제 의도
이 문제는 결합확률질량함수의 성질을 이용하여 미지의 확률값을 결정하고, 기댓값 조건을 활용하는 능력과 조건부확률을 정확히 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 표는 이산확률변수 \(X, Y\)의 결합확률질량함수이므로 모든 확률의 합은 1이어야 한다.
$$ \sum_{x,y} P(X=x,Y=y)=1 $$
각 \(X\)값별 확률을 계산하면
$$ P(X=0)=p+\frac{1}{24}+\frac{1}{12}+\frac{1}{8}=p+\frac{1}{4} $$
$$ P(X=1)=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}=\frac{1}{4} $$
$$ P(X=2)=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+q=\frac{7}{24}+q $$
따라서 전체 확률의 합은
$$ p+q+\frac{19}{24}=1 $$
이로부터
$$ p+q=\frac{5}{24} $$
이제 기댓값 조건 \(E(X)=\dfrac{11}{12}\)을 이용한다.
$$ E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2) $$
$$ E(X)=\frac{1}{4}+2\left(\frac{7}{24}+q\right)=\frac{10}{12}+2q $$
이를 \(\dfrac{11}{12}\)와 같게 두면
$$ \frac{10}{12}+2q=\frac{11}{12} $$
$$ q=\frac{1}{24}, \quad p=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} $$
따라서
$$ p \times \frac{1}{q}=\frac{1}{6}\times 24=4 $$
다음으로 조건 \(Y-X=2\)를 만족하는 경우는 \((0,2),(1,3),(2,4)\)이다.
$$ P(Y-X=2)=\frac{1}{24}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}=\frac{5}{24} $$
이 중 \(X+Y \le 4\)를 만족하는 경우는 \((0,2),(1,3)\)이다.
$$ P(X+Y\le4,\;Y-X=2)=\frac{1}{24}+\frac{1}{8}=\frac{1}{6} $$
따라서 조건부확률은
$$ P(X+Y \le 4 \mid Y-X=2)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{24}}=\frac{4}{5} $$