정답
\(g(-2)=\dfrac{1}{2}\), \(\displaystyle \lim_{t \to 0} g(t)^{\frac{1}{t}}=\dfrac{4}{e}\)이다.
출제 의도
이 문제는 원판에서의 이중적분을 극좌표로 변환하여 계산할 수 있는지를 평가하며, 함수의 극한에서 로그 미분과 지수 극한을 적절히 활용하는 능력을 묻는다.
풀이 과정
정의에 따라 \(g(t)\)를 계산하기 위해 영역 \(D\)를 극좌표로 바꾼다. 이때 \(x^2+y^2=r^2\), \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\)이다.
$$ g(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r^2+1)^t r\,dr\,d\theta $$
각도 적분을 먼저 수행하면 상수배가 되어 다음과 같다.
$$ g(t)=2\int_{0}^{1}(r^2+1)^t r\,dr $$
치환 \(u=r^2+1\)을 사용하면 \(du=2r\,dr\)이므로 적분은 간단해진다.
$$ g(t)=\int_{1}^{2}u^t\,du=\frac{2^{t+1}-1}{t+1} $$
이제 \(t=-2\)를 대입하면
$$ g(-2)=\frac{2^{-1}-1}{-1}=\frac{1}{2} $$
다음으로 \(\displaystyle \lim_{t\to 0} g(t)^{1/t}\)을 구한다. 이 극한은 \(g(0)=1\)이므로 지수 극한으로 바꿔 계산할 수 있다.
$$ \lim_{t\to 0} g(t)^{1/t}=\exp\left(\frac{g'(0)}{g(0)}\right) $$
\(g(t)=\dfrac{2^{t+1}-1}{t+1}\)을 미분하여 \(t=0\)을 대입하면 \(g'(0)=2\ln 2-1\)이다.
$$ \lim_{t\to 0} g(t)^{1/t}=e^{2\ln 2-1}=\frac{4}{e} $$