정답
\(\mathbb{Z}_{11}^\*\)의 생성원은 \(\overline{2}, \overline{6}, \overline{7}, \overline{8}\)이다.
출제 의도
이 문제는 정수환의 몫환에서 단원의 개념을 이해하고, 소수 법(mod prime)에서 곱셈군이 순환군이 됨을 알고 있는지, 그리고 생성원(원시근)의 개념을 정확히 적용할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
\(\mathbb{Z}_{11}\)에서 단원(unit)이란 \(11\)과 서로소인 원소들이며, 이는 곧 \(\mathbb{Z}_{11}\)의 곱셈에 대한 가역원들의 집합이다.
따라서 \(\mathbb{Z}_{11}^\*\)는
$$ \mathbb{Z}_{11}^\*=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7},\overline{8},\overline{9},\overline{10}\} $$
가 되며, 원소의 개수는 오일러 피 함수에 의해
$$ |\mathbb{Z}_{11}^\*|=\varphi(11)=10 $$
이다. \(11\)은 소수이므로 \(\mathbb{Z}_{11}^\*\)는 곱셈에 대해 순환군이 된다.
생성원이 되기 위해서는 해당 원소의 위수가 \(10\)이어야 한다. 직접 계산하거나 원시근의 성질을 이용하면 \(\overline{2}\)가 생성원임을 알 수 있다.
$$ \overline{2}^1,\overline{2}^2,\ldots,\overline{2}^{10}=\overline{1} $$
또한 순환군의 성질에 의해 \(\overline{2}^k\) 중에서 \(\gcd(k,10)=1\)인 경우 역시 생성원이 된다.
이에 해당하는 지수는 \(k=1,3,7,9\)이며, 각각
$$ \overline{2},\ \overline{2}^3=\overline{8},\ \overline{2}^7=\overline{7},\ \overline{2}^9=\overline{6} $$
이므로 \(\mathbb{Z}_{11}^\*\)의 모든 생성원은 \(\overline{2}, \overline{6}, \overline{7}, \overline{8}\)이다.