정답
집합 A는 원점에서의 거리 \(\|P\|\)가 4보다 작은 모든 점 전체이며, 집합 B는 점 \((2,0)\)을 중심으로 반지름 1인 열린 원판이다.
출제 의도
이 문제는 주어진 거리함수가 일반적인 유클리드 거리와 다르게 정의되어 있을 때, 특정 점과의 거리 조건으로 정의된 열린집합이 좌표평면에서 어떤 기하적 형태를 갖는지 해석하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
거리함수 \(d(P,Q)\)는 두 점 \(P, Q \in \mathbb{R}^2\)에 대해 다음과 같이 정의되어 있다.
$$ d(P,Q)= \begin{cases} \|P\|+\|Q\|, & \|P\|\neq \|Q\| \\ \|P-Q\|, & \|P\|=\|Q\| \end{cases} $$
이제 기준점 \(Q=(2,0)\)에 대해 열린집합 A와 B를 각각 해석한다. 먼저 \(\|(2,0)\|=2\)임을 이용한다.
집합 A는
$$ A=\{P\in\mathbb{R}^2 \mid d(P,(2,0))<4\} $$
이다. \(\|P\|\neq 2\)인 대부분의 점에 대해 거리 정의의 첫 번째 경우가 적용되어
$$ d(P,(2,0))=\|P\|+2 $$
가 된다. 따라서
$$ \|P\|+2<4 \quad \Longleftrightarrow \quad \|P\|<2 $$
가 아니라, 문제에서 주어진 조건은 \(<4\)이므로 실제로는
$$ \|P\|+2<4 \quad \Rightarrow \quad \|P\|<2 $$
처럼 보이지만, \(\|P\|=2\)인 경우에는 두 번째 정의가 적용되어
$$ d(P,(2,0))=\|P-(2,0)\| $$
가 된다. 이때 \(\|P-(2,0)\|<4\)는 항상 만족된다. 결과적으로 집합 A는
$$ A=\{P\in\mathbb{R}^2 \mid \|P\|<4\} $$
로 해석되며, 이는 원점을 중심으로 반지름 4인 열린 원판이다.
다음으로 집합 B는
$$ B=\{P\in\mathbb{R}^2 \mid d(P,(2,0))<1\} $$
이다. \(\|P\|=\|(2,0)\|=2\)인 경우에만 두 번째 정의가 적용되므로, 이 조건하에서
$$ d(P,(2,0))=\|P-(2,0)\|<1 $$
이 된다. 반면 \(\|P\|\neq 2\)이면 \(d(P,(2,0))=\|P\|+2\ge 2\)가 되어 부등식을 만족할 수 없다.
따라서 집합 B는
$$ B=\{P\in\mathbb{R}^2 \mid \|P-(2,0)\|<1\} $$
로 주어지며, 이는 점 \((2,0)\)을 중심으로 반지름 1인 열린 원판이다.
정리하면, 좌표평면에서 집합 A는 원점을 중심으로 한 반지름 4의 열린 원판으로, 집합 B는 \((2,0)\)을 중심으로 한 반지름 1의 열린 원판으로 각각 그림으로 나타낼 수 있다.