정답
\(I=(1-3i,\,3-4i)=(2-i)\), \(\min\{v(\eta)\mid \eta\in I,\eta\neq 0\}=5\), \(\mathrm{char}(\mathbb{Z}[i]/I)=5\)이다.
출제 의도
이 문제는 가우스 정수환 \(\mathbb{Z}[i]\)가 유클리드 정역임을 이용하여 두 원소가 생성하는 아이디얼의 생성자를 구하고, 노름의 최소값과 몫환의 표수를 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
\(\mathbb{Z}[i]\)는 유클리드 노름 \(v(a+bi)=a^2+b^2\)를 가지는 유클리드 정역이므로, 두 원소가 생성하는 아이디얼은 하나의 원소(최대공약원)로 생성되는 주아이디얼이다. 주어진 \(\alpha=1-3i\), \(\beta=3-4i\)에 대해 유클리드 알고리즘을 적용한다.
$$ \frac{3-4i}{1-3i} =\frac{(3-4i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} =\frac{15+5i}{10}= \frac{3}{2}+\frac{1}{2}i $$
가장 가까운 가우스 정수 \(q=2+i\)를 택하면
$$ (2+i)(1-3i)=5-5i,\qquad (3-4i)-(5-5i)=-2+i $$
이때 나머지 \(r=-2+i\)의 노름은 \(v(r)=(-2)^2+1^2=5\)로, \(v(\alpha)=10\)보다 작다. 다음으로
$$ \frac{1-3i}{-2+i} =\frac{(1-3i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} =\frac{-5+5i}{5}=-1+i $$
이므로 나머지가 0이 되어 최대공약원은 \(-2+i\)이다. 단위(unit)를 곱한 동치 생성자를 허용하면 \(2-i\)로 써도 된다. 따라서
$$ I=(1-3i,\,3-4i)=(2-i) $$
이다.
이제 \(I\)에 속하는 \(\eta\neq 0\) 중 노름의 최소값을 구한다. 주아이디얼 \(I=(2-i)\)에서 모든 원소는 \((2-i)\gamma\) 꼴이므로, 노름의 최소 양의 값은 생성자의 노름이다.
$$ v(2-i)=2^2+(-1)^2=5 $$
따라서 \(\min\{v(\eta)\mid \eta\in I,\eta\neq 0\}=5\)이다.
마지막으로 몫환 \(\mathbb{Z}[i]/I\)의 표수를 구한다. 주아이디얼 \((a+bi)\)에 대해 \(\gcd(a,b)=1\)이면, 가장 작은 양의 정수 \(n\)으로 \(n\in (a+bi)\)가 되는 값은 노름 \(a^2+b^2\)이다. 여기서는 \(2\)와 \(1\)이 서로소이므로
$$ \mathrm{char}(\mathbb{Z}[i]/(2-i))=v(2-i)=5 $$
가 된다.