정답
정규화 상수는 \(N=\sqrt{30}\), 평균 위치는 \(\langle x\rangle=\dfrac12\)이다.
출제 의도
주어진 파동함수를 확률밀도에 해당하는 제곱으로 바꾸어 구간에서 적분해 1이 되도록 정규화 상수를 구하고, 같은 확률밀도를 이용해 평균 위치를 적분으로 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
파동함수 \(\psi(x)=N(x-x^2)\) (단, \(0\le x\le 1\))가 정규화되려면 \(\int_0^1|\psi(x)|^2dx=1\)을 만족해야 한다.
$$ \int_0^1|\psi(x)|^2dx=\int_0^1 N^2(x-x^2)^2\,dx = N^2\int_0^1 x^2(1-x)^2\,dx $$
$$ N^2\int_0^1 x^2(1-2x+x^2)\,dx = N^2\int_0^1 (x^2-2x^3+x^4)\,dx $$
$$ N^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right) = N^2\cdot\frac{1}{30}=1 $$
$$ N^2=30\quad\Longrightarrow\quad N=\sqrt{30} $$
평균 위치는 \(\langle x\rangle=\int_0^1 x|\psi(x)|^2dx\)로 정의된다.
$$ \langle x\rangle=\int_0^1 x\,N^2(x-x^2)^2\,dx = N^2\int_0^1 x^3(1-x)^2\,dx $$
$$ \langle x\rangle = N^2\int_0^1 (x^3-2x^4+x^5)\,dx = N^2\left(\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6}\right) $$
$$ \frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6}=\frac{1}{60} \quad\Longrightarrow\quad \langle x\rangle=30\cdot\frac{1}{60}=\frac{1}{2} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>