정답
\(x = 6.7\times 10^{-3}\ \mathrm{mol}\)이며, 당량점 (가)에서의 pH는 약 9.85이다. 또한 (나)에서의 pH는 약 6.7이다.
출제 의도
이 문제는 약산–짝염기 완충용액의 조성 해석, 적정 곡선에서 당량점과 완충 구간의 의미, Henderson–Hasselbalch 식의 활용, 그리고 산 해리 상수로부터 pH를 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 약산은 일양성자성 약산 HA이며, 25℃에서 산 해리 상수는 \(K_a = 2.0\times 10^{-7}\)이다.
$$ \mathrm{HA(aq) + H_2O(l) \rightleftharpoons A^-(aq) + H_3O^+(aq)} $$
따라서
$$ pK_a = -\log K_a = -\log(2.0\times 10^{-7}) \approx 6.7 $$
그림에서 초기 pH가 7.0이므로, 이는 HA와 NaA가 함께 존재하는 완충용액임을 의미한다. Henderson–Hasselbalch 식을 적용하면 다음과 같다.
$$ \mathrm{pH} = pK_a + \log\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]} $$
여기에 \(\mathrm{pH}=7.0\), \(pK_a=6.7\)을 대입하면,
$$ 7.0 = 6.7 + \log\frac{y}{x} $$
$$ \log\frac{y}{x} = 0.3 \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x} \approx 2 $$
즉, 초기 몰수 비는 \(y = 2x\)이다.
적정 곡선에서 0.2 M HCl 또는 NaOH가 100 mL 첨가되는 지점이 당량점이므로, 중화된 물질의 몰수는
$$ n = 0.2\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \times 0.100\ \mathrm{L} = 0.020\ \mathrm{mol} $$
이는 초기 용액에 들어 있던 HA와 A⁻의 총몰수와 같으므로,
$$ x + y = 0.020 $$
여기에 \(y=2x\)를 대입하면,
$$ 3x = 0.020 \quad\Rightarrow\quad x = 6.7\times 10^{-3}\ \mathrm{mol} $$
다음으로 당량점 (가)에서는 모든 HA가 A⁻로 전환된 상태이다. 이때 용액에는 A⁻만 존재하며, 이는 약염기이므로 가수분해를 고려한다.
$$ K_b = \frac{K_w}{K_a} = \frac{1.0\times 10^{-14}}{2.0\times 10^{-7}} = 5.0\times 10^{-8} $$
당량점에서 A⁻의 농도는
$$ [\mathrm{A^-}] = \frac{0.020}{0.300} \approx 0.067\ \mathrm{M} $$
약염기 해리로부터 생성되는 \(\mathrm{OH^-}\) 농도를 \(x\)라 하면,
$$ K_b \approx \frac{x^2}{0.067} $$
$$ x \approx \sqrt{0.067\times 5.0\times 10^{-8}} \approx 5.8\times 10^{-5} $$
$$ \mathrm{pOH} = -\log(5.8\times 10^{-5}) \approx 4.15 $$
$$ \mathrm{pH} = 14 – 4.15 \approx 9.85 $$
마지막으로 (나)는 완충 용액 상태에서 \([\mathrm{A^-}] = [\mathrm{HA}]\)가 되는 지점으로, 이때 pH는 항상 \(pK_a\)와 같다.
$$ \mathrm{pH}_{(나)} = pK_a \approx 6.7 $$