정답
트랙이 물체에 작용하는 수직항력의 크기는 \(N=20\sqrt{2}\,\text{N}\), 수평 이동거리는 \(S=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\,\text{m}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\,\text{m}\)이다.
출제 의도
경사(뱅크)진 원운동에서 수직방향 평형과 수평(반지름)방향의 구심가속도를 힘의 성분으로 연결할 수 있는지, 그리고 트랙을 떠난 뒤에는 초기속도가 수평인 포물선 운동으로 낙하 시간과 수평거리를 구할 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
트랙의 경사면이 책상면(수평면)과 이루는 각이 \(45^\circ\)이므로, 수직항력 \(N\)은 수직방향과 \(45^\circ\)를 이룬다. 물체는 등속 원운동을 하므로 수직방향 가속도는 0이고, 수평(반지름)방향으로만 구심가속도 \(\dfrac{v^2}{r}\)가 있다.
따라서 힘을 수직방향과 반지름방향으로 성분분해하면, 수직방향 평형과 반지름방향 구심조건을 각각 세울 수 있다.
$$ N\cos45^\circ=mg $$
$$ N\sin45^\circ=\frac{mv^2}{r} $$
첫 번째 식에서 \(m=2\,\text{kg},\; g=10\,\text{m/s}^2\)를 대입하면
$$ N=\frac{mg}{\cos45^\circ}=\frac{20}{\frac{\sqrt2}{2}}=20\sqrt2\ \text{N} $$
이제 속력을 구하기 위해 두 번째 식에 \(N\)을 대입한다.
$$ N\sin45^\circ=20\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=20=\frac{mv^2}{r} $$
$$ 20=\frac{2v^2}{0.4}\quad\Longrightarrow\quad 20=5v^2\quad\Longrightarrow\quad v^2=4,\ v=2\ \text{m/s} $$
물체가 트랙을 떠나는 순간 속도는 수평방향(그림의 진행방향)이고, 높이 \(h=1\,\text{m}\)에서 낙하하므로 낙하 시간 \(t\)는
$$ h=\frac12 gt^2\quad\Longrightarrow\quad 1=\frac12\cdot 10\cdot t^2\quad\Longrightarrow\quad t^2=\frac15,\ t=\frac{1}{\sqrt5} $$
수평거리 \(S\)는 \(S=vt\)이므로
$$ S=2\cdot\frac{1}{\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\ \text{m} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>