정답
\(|X|=4\)이고, \(X=\{\sigma_2,\sigma_6,\sigma_7,\sigma_{11}\}\) (단 \(\sigma_a(\zeta)=\zeta^a\))이다. 각 원소에 대해 \(\sigma_2(\zeta)=\zeta^2,\;\sigma_6(\zeta)=\zeta^6,\;\sigma_7(\zeta)=\zeta^7,\;\sigma_{11}(\zeta)=\zeta^{11}\). 또한 \(\beta=\zeta+\zeta^3+\zeta^4+\zeta^9+\zeta^{10}+\zeta^{12}\)의 \(\mathbb{Q}\) 위 기약다항식은 \(x^2+x-3\)이다.
출제 의도
\(x^{13}-1\)의 분해체가 13차 원시근을 생성하는 원분체임을 이용해 갈루아군을 \((\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times\)와 동형시킨 뒤, 생성원(순환군의 generator)을 판별하여 고정체가 \(\mathbb{Q}\)가 되는 원소를 찾는 것이 핵심이다. 또한 \(\beta\)가 특정 부분군에 의해 고정되는 가우스 주기(gaussian period) 형태임을 알아차려 \([\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]=2\)를 얻고, 켤레와의 합/차를 이용해 최소다항식을 결정하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
\(K\)는 \(x^{13}-1\)의 분해체이므로 \(K=\mathbb{Q}(\zeta)\)이고 \(\zeta=e^{2\pi i/13}\)이다. 이때 갈루아군은
$$ G(K/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times $$
이며, 각 \(a\in(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times\)에 대해 \(\sigma_a\in G(K/\mathbb{Q})\)를
$$ \sigma_a(\zeta)=\zeta^a $$
로 정의하면 모든 자동사상이 이렇게 주어진다. 또한 \(|G(K/\mathbb{Q})|=\varphi(13)=12\)이고 \((\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times\)는 순환군이므로 \(G(K/\mathbb{Q})\)도 순환군이다.
문제의 집합은 \(X=\{\sigma\in G(K/\mathbb{Q})\mid K_{\langle\sigma\rangle}=\mathbb{Q}\}\)이다. 갈루아 대응에 의해 \(\langle\sigma\rangle\)의 고정체가 \(\mathbb{Q}\)가 되려면 \(\langle\sigma\rangle=G(K/\mathbb{Q})\)여야 한다. 즉 \(\sigma\)가 갈루아군 전체를 생성하는 생성원이어야 한다.
따라서 \(X\)는 “차수 12인 원소”들의 집합이고, 순환군에서 생성원의 개수는 \(\varphi(12)=4\)이므로
$$ |X|=\varphi(12)=4 $$
이다. 이제 \(a\)를 실제로 구한다. \(2\)는 법 \(13\)에서 원시근(차수 12)이며, 그러면 생성원들은 \(2^k\) 중 \(\gcd(k,12)=1\)인 것들이다.
$$ k\in\{1,5,7,11\} $$
$$ 2^1\equiv 2,\quad 2^5\equiv 32\equiv 6,\quad 2^7\equiv 128\equiv 11,\quad 2^{11}\equiv 2048\equiv 7\pmod{13} $$
따라서
$$ X=\{\sigma_2,\sigma_6,\sigma_7,\sigma_{11}\} $$
이고 각 원소의 \(\zeta\)에 대한 상은 \(\sigma_2(\zeta)=\zeta^2,\;\sigma_6(\zeta)=\zeta^6,\;\sigma_7(\zeta)=\zeta^7,\;\sigma_{11}(\zeta)=\zeta^{11}\)이다.
이제 \(\beta=\zeta+\zeta^3+\zeta^4+\zeta^9+\zeta^{10}+\zeta^{12}\)의 최소다항식을 구한다. 지수 집합
$$ R=\{1,3,4,9,10,12\} $$
는 법 \(13\)에서의 제곱잉여(quadratic residues) 집합이다. 제곱잉여들로 이루어진 부분군 \(H\subset(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times\)는 크기 6이고 지수 2이다. \(a\in H\)이면 \(aR=R\)이므로 \(\sigma_a\)는 \(\beta\)를 고정한다.
$$ a\in H\ \Longrightarrow\ \sigma_a(\beta)=\sum_{r\in R}\zeta^{ar}=\sum_{r\in R}\zeta^{r}=\beta $$
따라서 \(\beta\)의 고정자(stabilizer)는 최소한 \(H\)를 포함하고, 실제로 \(H\)가 지수 2인 부분군이므로 \(\beta\)의 \(\mathbb{Q}\)-켤레는 두 개뿐이다. \(b\notin H\) (제곱비잉여)라 두면 \(bR\)는 비잉여 집합 \(N\)이 되어
$$ \beta’=\sigma_b(\beta)=\sum_{n\in N}\zeta^n $$
가 \(\beta\)의 다른 켤레가 된다. 이제 전체 합을 이용하면
$$ \beta+\beta’=\sum_{k=1}^{12}\zeta^k=-1 $$
이다. 또한 고전적인 이차 가우스 합(13은 \(13\equiv 1\pmod 4\))의 성질로
$$ (\beta-\beta’)^2=13 $$
이 성립하므로 \(\beta-\beta’=\pm\sqrt{13}\)이고, \(\beta\notin\mathbb{Q}\)이므로 \([\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]=2\)이다. 이제
$$ \beta=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2},\qquad \beta’=\frac{-1\mp\sqrt{13}}{2} $$
가 되어 곱은
$$ \beta\beta’=\frac{(-1)^2-(\sqrt{13})^2}{4}=\frac{1-13}{4}=-3 $$
이다. 따라서 \(\beta\)의 최소다항식은 켤레들의 합과 곱으로부터
$$ x^2-(\beta+\beta’)x+\beta\beta’=x^2-(-1)x+(-3)=x^2+x-3 $$
이 되고, 이는 \(\mathbb{Q}\)에서 판별식이 \(13\)으로 제곱수가 아니므로 기약이다. 즉 \(\mathrm{irr}(\beta,\mathbb{Q})=x^2+x-3\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>