정답
$$ \iint_{D(a)} (x^2+y^2)\,dA=\frac{\pi}{2}(1+a)^4,\qquad \iiint_{\Omega} z(x^2+y^2)\,dV=\frac{43\pi}{20} $$
출제 의도
원판/원기둥형 영역을 극좌표(또는 원통좌표)로 바꾸어 적분을 간단히 계산하는지, 특히 \(x^2+y^2=r^2\), \(dA=r\,dr\,d\theta\), \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)를 정확히 적용하는지를 평가한다.
풀이 과정
\(D(a)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le (1+a)^2\}\)는 원점 중심의 원판이며 반지름은 \(R=|1+a|\)이다. 극좌표 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)를 쓰면 \(x^2+y^2=r^2\), \(dA=r\,dr\,d\theta\)이다.
$$ \iint_{D(a)}(x^2+y^2)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^2\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R}d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4}{4}\,d\theta =\frac{\pi}{2}R^4 $$
\(R^4=|1+a|^4=(1+a)^4\)이므로
$$ \iint_{D(a)}(x^2+y^2)\,dA=\frac{\pi}{2}(1+a)^4 $$
다음으로 \(\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le (1+z)^2,\ 0\le z\le 1\}\)는 높이 \(0\le z\le 1\)에서 반지름이 \(1+z\)인 원기둥형(원뿔대처럼 퍼지는) 영역이다. 원통좌표에서 \(x^2+y^2=r^2\), \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)이다.
$$ \iiint_{\Omega} z(x^2+y^2)\,dV =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1+z} z\,r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} z\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1+z}d\theta\,dz $$
$$ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} z\frac{(1+z)^4}{4}\,d\theta\,dz =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1} z(1+z)^4\,dz $$
치환 \(u=1+z\) (\(z=u-1\))를 쓰면
$$ \int_{0}^{1} z(1+z)^4\,dz=\int_{1}^{2}(u-1)u^4\,du=\int_{1}^{2}(u^5-u^4)\,du =\left[\frac{u^6}{6}-\frac{u^5}{5}\right]_{1}^{2} =\frac{43}{10} $$
따라서
$$ \iiint_{\Omega} z(x^2+y^2)\,dV=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{43}{10}=\frac{43\pi}{20} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>