정답
곡률중심은 \(\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)\), 곡률반경은 \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\)이다.
출제 의도
매개곡선에서 접선벡터와 가속도벡터를 이용해 곡률을 구하고, 곡률반경과 주법선 방향을 통해 접촉원의 중심(곡률중심)을 계산하는지를 평가한다.
풀이 과정
곡선 \(\alpha(t)=(x(t),y(t))\)에서
$$ x(t)=2\sin t-\sin 2t,\qquad y(t)=2\cos t-\cos 2t $$
도함수는
$$ x'(t)=2\cos t-2\cos 2t,\quad y'(t)=-2\sin t+2\sin 2t $$
$$ x”(t)=-2\sin t+4\sin 2t,\quad y”(t)=-2\cos t+4\cos 2t $$
\(t=\frac{\pi}{2}\)에서 \(\sin t=1,\cos t=0,\sin 2t=0,\cos 2t=-1\)이므로
$$ \alpha\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=(2,1),\quad (x’,y’)=(2,-2),\quad (x”,y”)=(-2,-4) $$
속력 \(v=\sqrt{x’^2+y’^2}=2\sqrt{2}\)이고, 곡률은
$$ \kappa=\frac{|x’y”-y’x”|}{(x’^2+y’^2)^{3/2}} =\frac{|2(-4)-(-2)(-2)|}{(8)^{3/2}} =\frac{12}{16\sqrt{2}} =\frac{3\sqrt{2}}{8} $$
따라서 곡률반경은
$$ \rho=\frac{1}{\kappa}=\frac{4\sqrt{2}}{3} $$
좌회전 단위 법선벡터를 \( \mathbf{n}=\dfrac{(-y’,x’)}{v}\)로 두면
$$ \mathbf{n}=\frac{(2,2)}{2\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$
이때 \(x’y”-y’x”=-12<0\)이므로 곡률중심은 좌법선 방향의 반대쪽(우측)이며,
$$ C=\alpha\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\rho\,\mathbf{n} =(2,1)-\frac{4\sqrt{2}}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =(2,1)-\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right) =\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right) $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>