정답
생성함수 \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^n\)는 \[ f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+2x} \] 이고, 일반항은 \[ a_n=n!\bigl(1+(-2)^n\bigr) \] 이다.
출제 의도
주어진 점화식을 \(n!\)로 정규화하여 단순한 1차 선형 점화식으로 바꾼 뒤, 그 해를 구하고 이를 이용해 생성함수와 원래 수열의 일반항을 도출할 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
\(b_n=\dfrac{a_n}{n!}\)로 두면 \(a_n=b_n n!\)이다. 이를 점화식에 대입한다.
$$ a_{n+1}=-2(n+1)a_n+3(n+1)! $$
$$ b_{n+1}(n+1)!=-2(n+1)\,b_n n!+3(n+1)! $$
\((n+1)!\)로 나누면 매우 단순한 점화식이 된다.
$$ b_{n+1}=-2b_n+3,\qquad b_0=\frac{a_0}{0!}=2 $$
고정해(특수해)를 \(b=1\)로 잡으면 \(1=-2\cdot 1+3\)을 만족한다. \(c_n=b_n-1\)로 두면
$$ c_{n+1}=b_{n+1}-1=(-2b_n+3)-1=-2(b_n-1)=-2c_n,\qquad c_0=b_0-1=1 $$
따라서
$$ c_n=(-2)^n,\qquad b_n=1+(-2)^n $$
이제 \(b_n\)의 생성함수 \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n\)는 등비급수로 바로 계산된다.
$$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty (1+(-2)^n)x^n =\sum_{n=0}^\infty x^n+\sum_{n=0}^\infty (-2x)^n =\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+2x} $$
마지막으로 \(a_n=b_n n!\)이므로 일반항은
$$ a_n=n!\bigl(1+(-2)^n\bigr) $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>