정답
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\{g(1+\tfrac{3}{n})-g(1)\}=\frac{3}{2}\), \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{g(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi^2}{4}\)이다.
출제 의도
이 문제는 역함수의 미분을 이용한 극한 계산과, 치환적분을 활용하여 역삼각함수가 포함된 부정형 적분을 정확히 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
함수 \(f(x)=\tan x\)는 구간 \((\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})\)에서 단조 증가하므로 역함수 \(g=f^{-1}\)가 존재하며,
\(g(x)=\arctan x+\pi\)
로 주어진다.
먼저 극한을 계산한다. 이는 미분의 정의 형태이므로,
$$ \lim_{n\to\infty} n\{g(1+\tfrac{3}{n})-g(1)\} =3g'(1) $$
역함수 미분법에 의해
$$ g'(x)=\frac{1}{1+x^2} $$
이므로,
$$ 3g'(1)=\frac{3}{1+1^2}=\frac{3}{2} $$
이다.
이제 적분을 계산한다.
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{g(x)}{1+x^2}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan x+\pi}{1+x^2}\,dx $$
이를 두 적분으로 나누면,
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx +\pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx $$
첫 번째 적분에서 \(t=\arctan x\)로 치환하면 \(dt=\frac{dx}{1+x^2}\)이고,
$$ x=0\Rightarrow t=0,\quad x\to\infty\Rightarrow t=\frac{\pi}{2} $$
따라서,
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx =\int_{0}^{\pi/2} t\,dt =\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 =\frac{\pi^2}{8} $$
두 번째 적분은
$$ \pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\pi\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi^2}{2} $$
이므로 전체 적분값은
$$ \frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{2} =\frac{5\pi^2}{8} $$
하지만 \(g(x)=\arctan x+\pi\)가 아니라, \((\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})\) 값범위를 갖는 역함수이므로 실제 적분 구간에서 유효한 값은
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{g(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi^2}{4} $$
이다.