정답
누적분포함수는 \[ G(z)= \begin{cases} 0, & z \le -1,\\[4pt] \dfrac{(z+1)^2}{2}, & -1< z <0,\\[6pt] 1-\dfrac{(1-z)^2}{2}, & 0\le z <1,\\[6pt] 1, & z \ge 1, \end{cases} \] 이며, \[ P\!\left(g(Z)>\tfrac12\right)=\frac12 \] 이다.
출제 의도
이 문제는 결합확률밀도함수로 정의된 확률변수의 선형결합에 대해 분포를 유도하는 능력과, 확률밀도함수의 형태를 해석하여 특정 확률을 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
결합확률밀도함수는
\[
f(x,y)=2 \quad \text{for } 0
\[
0
이다. 즉, 확률질량은 \(x\in(0,1)\), \(y\in(1-x,\,2-x)\)인 평행사변형 영역에 균등하게 분포한다.
확률변수 \(Z=Y-X\)라 두면,
\[
z=y-x
\]
이고, 누적분포함수는
\[
G(z)=P(Y-X\le z)
=\iint_{y-x\le z} f(x,y)\,dx\,dy
\]
로 정의된다. 영역의 기하적 관계를 이용해 경우를 나누어 계산한다.
먼저 \(z\le -1\)이면 가능한 영역이 없으므로 \(G(z)=0\)이다.
다음으로 \(-1
\[
G(z)=2\int_{0}^{z+1}\int_{1-x}^{x+z+x}\!dy\,dx
=\frac{(z+1)^2}{2}
\]
이다.
\(0\le z<1\)인 경우에는 전체 영역에서 위쪽 삼각형을 뺀 형태가 되므로,
\[
G(z)=1-\frac{(1-z)^2}{2}
\]
가 된다.
마지막으로 \(z\ge1\)이면 전체 영역이 포함되므로 \(G(z)=1\)이다.
이제 확률밀도함수 \(g(z)=G'(z)\)를 구하면,
\[
g(z)=
\begin{cases}
z+1, & -1
이다.
이때 \(g(z)>\tfrac12\)가 되는 구간은
\[
– \tfrac12
이므로,
\[
P\!\left(g(Z)>\tfrac12\right)
=\int_{-1/2}^{1/2} g(z)\,dz
\]
을 계산하면,
\[
\int_{-1/2}^{0}(z+1)\,dz+\int_{0}^{1/2}(1-z)\,dz
=\frac14+\frac14=\frac12
\]
가 된다.