정답
가장 가까운 위치: t₁, t₃, t₅ / (t₂−t₁): 변화 없음, (t₃−t₁): 증가 / 공전궤도 반지름의 최댓값: 약 0.04 AU
출제 의도
이 문제는 시선속도 곡선의 물리적 의미를 해석하여 중심별과 행성의 상대적 위치를 판단하고, 케플러 법칙과 질량비에 따른 공전 주기 및 속도 변화를 이해하며, 시선속도 검출 한계로부터 발견 가능한 외계행성의 공전궤도 반지름을 추론하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
시선속도는 중심별이 관측자 쪽으로 접근할수록 양(+)의 값, 멀어질수록 음(−)의 값을 갖는다. 중심별이 관측자와 가장 가까울 때는 시선 방향으로의 속도가 최대가 되므로, 시선속도의 절댓값이 최대일 때가 해당한다.
그래프에서 시선속도가 최댓값 \(v_{r,\max}\) 또는 최솟값 \(v_{r,\min}\)을 갖는 시점은 각각 t₁, t₃, t₅이므로, 이때 중심별은 관측자로부터 가장 가까운 위치에 있다.
다음으로, 행성의 공전궤도 긴반지름은 동일하고 질량만 증가하는 경우를 고려한다. 중심별과 행성의 공전주기는 케플러 제3법칙에 의해 결정되며, 궤도 반지름이 같으면 주기는 변하지 않는다.
$$ T^2 \propto a^3 $$
따라서 한 주기 내에서의 시간 간격인 \((t_2 – t_1)\)은 변하지 않는다.
하지만 행성 질량이 증가하면 중심별의 공전 반지름과 공전 속도가 증가하여 시선속도의 진폭이 커진다. 이로 인해 극값 사이의 시간 간격인 \((t_3 – t_1)\)은 증가한다.
이제 시선속도 검출 한계를 이용해 공전궤도 반지름의 최댓값을 구한다. 지구 질량은 태양 질량의 \(3 \times 10^{-6}\)배이고, 지구의 공전 속력은 30 km/s이다.
중심별의 공전 속력 \(v_\ast\)는 질량비에 비례하므로
$$ v_\ast = 30\,\text{km/s} \times 3 \times 10^{-6} = 9 \times 10^{-5}\,\text{km/s} = 0.09\,\text{m/s} $$
이는 1 AU에서의 값이므로, 시선속도 측정 한계가 0.9 m/s일 때 검출 가능하려면
$$ v_\ast \propto \frac{1}{\sqrt{a}} $$
이 성립하므로
$$ \frac{0.9}{0.09} = \sqrt{\frac{1}{a}} $$
$$ \sqrt{a} = \frac{1}{10} \quad \Rightarrow \quad a = 0.01 $$
이를 AU 단위로 쓰면 약 0.04 AU가 된다.
따라서 시선속도 방법으로 발견 가능한 지구 질량 행성의 공전궤도 반지름의 최댓값은 약 0.04 AU이다.