정답
\(\psi_{2p_z}\) 궤도함수의 마디 평면은 \(xy\) 평면이며, \(\psi_{211}\) 전자의 궤도각운동량 \(z\)축 성분은 \(+\hbar\)이다. 또한 \(\psi_{2p_y}\) 상태에서는 \(L_z\)를 확정된 값으로 가질 수 없다.
출제 의도
이 문제는 수소 원자 2p 궤도함수의 각의존성 해석, 마디 평면의 물리적 의미, 궤도각운동량 연산자의 작용과 고유값 개념, 그리고 실수 궤도함수가 고유상태의 선형결합임을 이해하는지를 평가한다.
풀이 과정
먼저 \(\psi_{2p_z}\)는 \(\psi_{210}\)와 동일하며 각의존성이 \(\cos\theta\)로 주어진다. 구면좌표에서 \(\cos\theta = 0\)은 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)에 해당하고, 이는 곧 \(z=0\)인 평면이다.
$$ \psi_{2p_z} \propto \cos\theta $$
따라서 \(\psi_{2p_z}\) 궤도함수는 \(xy\) 평면에서 항상 0이 되며, 이 평면이 마디 평면임을 알 수 있다.
다음으로 \(\psi_{211}\) 궤도함수는 방위각 \(\phi\)에 대해 \(e^{i\phi}\)의 형태를 가진다. 궤도각운동량 \(z\)축 성분 연산자는 다음과 같다.
$$ \hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} $$
이를 \(\psi_{211} \propto e^{i\phi}\)에 작용시키면 다음을 얻는다.
$$ \hat{L}_z \psi_{211} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}\left(e^{i\phi}\right) = \hbar e^{i\phi} = \hbar \psi_{211} $$
따라서 \(\psi_{211}\)은 \(L_z\)의 고유상태이며, 고유값은 \(+\hbar\)이다.
이제 \(\psi_{2p_y}\)를 구하면 정의에 따라 다음과 같다.
$$ \psi_{2p_y} = \frac{1}{i\sqrt{2}}(\psi_{211}-\psi_{21-1}) $$
여기서 오일러 식 \(e^{\pm i\phi}=\cos\phi \pm i\sin\phi\)를 이용하면, \(\psi_{2p_y}\)는 \(\sin\phi\)에 비례하는 실수 함수가 됨을 알 수 있다.
그러나 \(\psi_{2p_y}\)는 \(m=+1\)과 \(m=-1\) 상태의 선형결합으로 이루어져 있으므로, \(L_z\)의 고유상태가 아니다.
따라서 \(\psi_{2p_y}\) 상태의 전자는 궤도각운동량의 \(z\)축 성분을 하나의 확정된 값으로 가질 수 없고, 측정 시 \(+\hbar\) 또는 \(-\hbar\)가 확률적으로 얻어진다.