정답
$$ L=m\left(\dot y_1^{\,2}+\dot y_3^{\,2}+\dot y_1\dot y_3\right)-\frac{\alpha}{2}\left[(2y_1+y_3)^2+(y_1+2y_3)^2\right], \quad m(2\ddot y_1+\ddot y_3)+5\alpha y_1+4\alpha y_3=0, \quad (y_3=y_1)\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{3\alpha}{m}} $$
출제 의도
질량중심 조건 \(y_1+y_2+y_3=0\)로 자유도를 줄여 라그랑지안을 구성하고, 오일러-라그랑주 방정식으로 결합 진동 방정식을 세운 뒤, 특정 정상모드 조건 \(y_3=y_1\)에서 고유 진동수를 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
조건 \(y_1+y_2+y_3=0\)이므로 \(y_2=-(y_1+y_3)\), \(\dot y_2=-(\dot y_1+\dot y_3)\)로 두고, 운동에너지와 퍼텐셜에너지를 \(y_1,y_3\)로만 나타낸다.
$$ T=\frac{m}{2}\left(\dot y_1^{\,2}+\dot y_2^{\,2}+\dot y_3^{\,2}\right) =\frac{m}{2}\left(\dot y_1^{\,2}+(\dot y_1+\dot y_3)^2+\dot y_3^{\,2}\right) =m\left(\dot y_1^{\,2}+\dot y_3^{\,2}+\dot y_1\dot y_3\right) $$
주어진 퍼텐셜 에너지는
$$ V=\frac{\alpha}{2}(y_2-y_1)^2+\frac{\alpha}{2}(y_2-y_3)^2 $$
\(y_2=-(y_1+y_3)\)를 대입하면
$$ y_2-y_1=-(y_1+y_3)-y_1=-(2y_1+y_3),\quad y_2-y_3=-(y_1+y_3)-y_3=-(y_1+2y_3) $$
$$ V=\frac{\alpha}{2}\left[(2y_1+y_3)^2+(y_1+2y_3)^2\right] $$
따라서 라그랑지안 \(L=T-V\)는
$$ L(y_1,y_3;\dot y_1,\dot y_3) =m\left(\dot y_1^{\,2}+\dot y_3^{\,2}+\dot y_1\dot y_3\right) -\frac{\alpha}{2}\left[(2y_1+y_3)^2+(y_1+2y_3)^2\right] $$
이제 \(y_1\)에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 쓴다.
$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot y_1}\right)-\frac{\partial L}{\partial y_1}=0 $$
$$ \frac{\partial L}{\partial \dot y_1}=m(2\dot y_1+\dot y_3) \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot y_1}\right)=m(2\ddot y_1+\ddot y_3) $$
$$ \frac{\partial V}{\partial y_1} =\alpha\left[2(2y_1+y_3)+(y_1+2y_3)\right] =5\alpha y_1+4\alpha y_3 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial L}{\partial y_1}=-\left(5\alpha y_1+4\alpha y_3\right) $$
따라서 \(y_1\)에 대한 운동 방정식은
$$ m(2\ddot y_1+\ddot y_3)+5\alpha y_1+4\alpha y_3=0 $$
이제 정상모드 조건 \(y_3=y_1\) (따라서 \(\ddot y_3=\ddot y_1\))를 대입하면
$$ m(2\ddot y_1+\ddot y_1)+5\alpha y_1+4\alpha y_1=0 \quad\Rightarrow\quad 3m\ddot y_1+9\alpha y_1=0 $$
$$ \ddot y_1+\left(\frac{3\alpha}{m}\right)y_1=0 \quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{\frac{3\alpha}{m}} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>