정답
\(\alpha=\dfrac12,\ \beta=\dfrac{1}{\sqrt2}\), 에너지의 기댓값은 \(\langle E\rangle=\dfrac{9}{4}\hbar\omega\)이다.
출제 의도
조화진동자 고유상태들의 선형결합에서 측정 확률이 계수의 제곱으로 주어진다는 점과, 정규화 조건을 이용해 미지 계수를 결정한 뒤 에너지 고유값을 확률가중 평균으로 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 파동함수는 정규직교인 고유함수 \(\psi_n\)들의 선형결합 \(\psi(x)=\alpha\psi_0+\beta\psi_2+\frac12\psi_3\)이다. 따라서 에너지 측정에서 \(n\)상태가 나올 확률은 해당 계수의 절댓값 제곱이다.
문제에서 바닥상태 \(n=0\)에서 발견될 확률이 세 번째 들뜬상태 \(n=3\)에서 발견될 확률과 같다고 했으므로
$$ |\alpha|^2=\left|\frac12\right|^2=\frac14 $$
\(\alpha\)는 양의 실수이므로
$$ \alpha=\frac12 $$
또한 \(\psi(x)\)는 규격화되었으므로 계수들은 정규화 조건을 만족한다.
$$ \alpha^2+\beta^2+\left(\frac12\right)^2=1 $$
\(\alpha=\frac12\)를 대입하면
$$ \frac14+\beta^2+\frac14=1 \quad\Rightarrow\quad \beta^2=\frac12 $$
\(\beta\)도 양의 실수이므로
$$ \beta=\frac{1}{\sqrt2} $$
조화진동자의 에너지 고유값은 \(E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right)\)이므로
$$ E_0=\frac12\hbar\omega,\quad E_2=\frac52\hbar\omega,\quad E_3=\frac72\hbar\omega $$
확률은 \(|c_0|^2=\alpha^2=\frac14\), \(|c_2|^2=\beta^2=\frac12\), \(|c_3|^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14\)이므로 에너지의 기댓값은
$$ \langle E\rangle =\frac14 E_0+\frac12 E_2+\frac14 E_3 =\frac14\cdot\frac12\hbar\omega+\frac12\cdot\frac52\hbar\omega+\frac14\cdot\frac72\hbar\omega =\frac{9}{4}\hbar\omega $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>