정답
\(\displaystyle \frac{f'(1-i)}{f(1+i)}=\pi\)이다.
출제 의도
복소함수의 켤레-반사 변환 \(\overline{f(\overline{z})}\)가 정해석함수임을 보이고, 코시-리만 방정식으로 야코비안이 \(|f'(z)|^2\)가 됨을 이용해 주어진 부등식에서 전해지는 강한 제약을 끌어내어, 결국 함수의 형태를 결정한 뒤 원하는 값을 계산하는지를 평가한다.
풀이 과정
\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)가 전해석함수이므로 \(u,v\)는 모든 점에서 코시-리만 방정식을 만족한다. \(\overline{f(\overline{z})}\)를
$$ g(z)=\overline{f(\overline{z})} $$
로 두면, \(\overline{z}=x-iy\)이므로
$$ f(\overline{z})=u(x,-y)+iv(x,-y),\qquad g(z)=u(x,-y)-iv(x,-y) $$
이다. 따라서 \(g\)의 실수부/허수부는 각각 \(U(x,y)=u(x,-y)\), \(V(x,y)=-v(x,-y)\)가 된다. \(f\)가 코시-리만을 만족하므로 \(U_x=V_y,\ U_y=-V_x\)가 성립하여 \(g\)도 코시-리만을 만족하고, 따라서 \(g\)는 전해석함수이다.
주어진 부등식의 좌변은 야코비안이고, \(f\)가 해석함수이면
$$ \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x} =u_x v_y-u_y v_x =u_x^2+u_y^2 =|f'(z)|^2 $$
가 된다(코시-리만 \(v_y=u_x,\ v_x=-u_y\) 사용). 또한 우변은
$$ (u(x,-y))^2+(v(x,-y))^2=|f(x-iy)|^2=|f(\overline{z})|^2=|g(z)|^2 $$
이므로, 조건은 모든 \(z\in\mathbb{C}\)에 대해
$$ |f'(z)|^2>|g(z)|^2 $$
즉
$$ \left|\frac{g(z)}{f'(z)}\right|<1 $$
을 준다. 따라서 전해석함수
$$ h(z)=\frac{g(z)}{f'(z)} $$
는 전평면에서 \(|h(z)|<1\)로 유계이므로 리우빌 정리에 의해 상수함수이다. 즉 어떤 상수 \(c\)가 존재하여
$$ g(z)=c\,f'(z) $$
이다. 이제 주어진 값으로 \(c\)를 구한다. \(g(i)=\overline{f(\overline{i})}=\overline{f(-i)}=\overline{1}=1\)이고 \(f'(i)=\pi\)이므로
$$ 1=g(i)=c f'(i)=c\pi \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{\pi} $$
따라서
$$ g(z)=\overline{f(\overline{z})}=\frac{1}{\pi}f'(z) $$
이다. 양변을 미분하면 \(g'(z)=\frac{1}{\pi}f”(z)\)이고, 한편 \(g'(z)=\overline{f'(\overline{z})}\)이므로 위 식에서 \(z\)를 \(\overline{z}\)로 바꾸고 켤레를 취하면
$$ \overline{f'(z)}=\pi f(\overline{z}) $$
가 되어, 다시 \(z\)를 \(\overline{z}\)로 치환하면
$$ \overline{f'(\overline{z})}=\pi f(z) $$
즉
$$ g'(z)=\overline{f'(\overline{z})}=\pi f(z) $$
을 얻는다. 그런데 \(g'(z)=\frac{1}{\pi}f”(z)\)였으므로
$$ \frac{1}{\pi}f”(z)=\pi f(z)\quad\Rightarrow\quad f”(z)=\pi^2 f(z) $$
가 된다. 이 미분방정식의 전해석해는
$$ f(z)=A e^{\pi z}+B e^{-\pi z} $$
이다. 또한
$$ f'(z)=\pi\left(A e^{\pi z}-B e^{-\pi z}\right) $$
이므로 조건 \(f'(i)=\pi\), \(f(-i)=1\)을 대입한다. \(e^{\pi i}=e^{-\pi i}=-1\)이므로
$$ f'(i)=\pi\left(Ae^{\pi i}-Be^{-\pi i}\right)=\pi(-A+B)=\pi \quad\Rightarrow\quad -A+B=1 $$
$$ f(-i)=Ae^{-\pi i}+Be^{\pi i}=-(A+B)=1 \quad\Rightarrow\quad A+B=-1 $$
연립하면 \(B=0,\ A=-1\)이므로
$$ f(z)=-e^{\pi z},\qquad f'(z)=-\pi e^{\pi z} $$
이제 값을 계산하면
$$ f(1+i)=-e^{\pi(1+i)}=-e^{\pi}e^{\pi i}=e^{\pi} $$
$$ f'(1-i)=-\pi e^{\pi(1-i)}=-\pi e^{\pi}e^{-\pi i}=\pi e^{\pi} $$
따라서
$$ \frac{f'(1-i)}{f(1+i)}=\frac{\pi e^{\pi}}{e^{\pi}}=\pi $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>