정답
\(n=29\)이다.
출제 의도
포아송 표본에서 분산이 모수와 같다는 성질과, 표본평균을 기준으로 한 제곱편차합의 기댓값이 \((n-1)\)에 비례한다는(표본분산의 불편성) 핵심 공식을 적용하는지를 평가한다.
풀이 과정
\(X_1,\dots,X_n\)이 서로 독립이고 \(X_i\sim \text{Poisson}(5)\)이므로 각 \(X_i\)의 분산은 5이다. 즉 \(\operatorname{Var}(X_i)=5\)이다.
일반적으로 i.i.d. 표본에서 제곱편차합은 \((n-1)\)배의 모분산을 갖는 성질이 있다.
$$ \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=(n-1)\operatorname{Var}(X_1) $$
따라서 주어진 조건 \(\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=140\)을 대입하면 다음과 같다.
$$ 140=(n-1)\cdot 5 $$
$$ n-1=28 \quad\Rightarrow\quad n=29 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>