정답
최소 박막 두께는 \(d_1=\dfrac{\lambda}{4n}\) 이다. 최소 반사율 \(R_0=0.04\), 최대 반사율 \(R_1=0.25\) 일 때 기판의 굴절률과 박막의 굴절률은 \[ n_s=\frac{3}{2},\qquad n=\frac{3\sqrt{3}}{2} \] 이다.
출제 의도
박막에서의 간섭에 의한 반사율 공식을 이용해 위상차 \(\delta\)가 달라질 때 반사율의 최솟값과 최댓값이 어떤 \(\delta\)에서 나타나는지 판단하고, 이로부터 최소 두께와 굴절률들을 역으로 구하는 문제이다. 반사율 식을 \(\sin^2\delta, \cos^2\delta\)로 정리하고, 주어진 \(R_0, R_1\) 값으로 연립하여 \(n_s, n\)을 찾아야 한다.
풀이 과정
주어진 반사율 식은
$$ R=\frac{n^{2}(n_s-1)^{2}\cos^{2}\delta+(n^{2}-n_s^{2})^{2}\sin^{2}\delta} {n^{2}(n_s+1)^{2}\cos^{2}\delta+(n^{2}+n_s^{2})^{2}\sin^{2}\delta}, \qquad \delta=\frac{2\pi n d}{\lambda} $$
이다. 계수들을
\[ A=n^{2}(n_s-1)^{2},\quad B=(n^{2}-n_s^{2})^{2},\quad C=n^{2}(n_s+1)^{2},\quad D=(n^{2}+n_s^{2})^{2} \]
라 두면
$$ R(\delta)=\frac{A\cos^{2}\delta+B\sin^{2}\delta} {C\cos^{2}\delta+D\sin^{2}\delta}. $$
여기서 \(s=\sin^{2}\delta\) 라고 두면 \(\cos^{2}\delta=1-s\) 이므로
$$ R(s)=\frac{A+(B-A)s}{C+(D-C)s} $$
가 된다. 이 함수를 \(s\)로 미분하면 분모의 제곱을 곱한 뒤의 분자에서 \(s\) 항이 소거되어,
\[ \frac{dR}{ds}=\frac{(B-A)C-A(D-C)}{(C+(D-C)s)^{2}} \]
와 같이 \(s\)에 의존하지 않는다. 따라서 \(R\)은 \(\sin^{2}\delta\)에 대해 단조이므로, 극값은 경계인 \(\sin^{2}\delta=0\) 또는 \(\sin^{2}\delta=1\) 에서만 나타난다.
먼저 \(\sin^{2}\delta=0\) (즉 \(\delta=k\pi\))이면 \(\cos^{2}\delta=1\) 이므로
$$ R=R_0=\frac{A}{C} =\frac{n^{2}(n_s-1)^{2}}{n^{2}(n_s+1)^{2}} =\left(\frac{n_s-1}{n_s+1}\right)^{2}. $$
특히 \(d=0\) (즉 \(\delta=0\))일 때가 이 경우에 해당한다. 제시된 최소 반사율이 \(R_0=0.04\) 이므로
$$ \left(\frac{n_s-1}{n_s+1}\right)^{2}=0.04 \quad\Rightarrow\quad \frac{n_s-1}{n_s+1}=0.2. $$
이를 풀면
$$ n_s-1=0.2n_s+0.2 \quad\Rightarrow\quad 0.8n_s=1.2 \quad\Rightarrow\quad n_s=\frac{3}{2}. $$
다음으로 \(\sin^{2}\delta=1\) (즉 \(\delta=\frac{\pi}{2}+k\pi\))일 때는 \(\cos^{2}\delta=0\) 이므로
$$ R=R_1=\frac{B}{D} =\left(\frac{n^{2}-n_s^{2}}{n^{2}+n_s^{2}}\right)^{2}. $$
문제에서 이 값이 최대 반사율 \(R_1=0.25\) 이므로
$$ \left(\frac{n^{2}-n_s^{2}}{n^{2}+n_s^{2}}\right)^{2}=0.25 \quad\Rightarrow\quad \frac{n^{2}-n_s^{2}}{n^{2}+n_s^{2}}=\frac{1}{2}. $$
양변을 풀면
$$ 2(n^{2}-n_s^{2})=n^{2}+n_s^{2} \quad\Rightarrow\quad n^{2}=3n_s^{2} \quad\Rightarrow\quad n=\sqrt{3}\,n_s. $$
이미 \(n_s=\dfrac{3}{2}\) 를 구했으므로
$$ n=\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $$
이다.
이제 반사율이 처음으로 \(R_1\) (즉 최대값) 이 되는 최소 두께를 구한다. 최대 반사율은 \(\sin^{2}\delta=1\) 일 때 즉 \(\delta=\frac{\pi}{2}+k\pi\) 에서 나타나며, \(d>0\)인 최소 두께는 \(k=0\) 일 때의 \(\delta=\dfrac{\pi}{2}\) 에 해당한다.
위상차 식 \(\delta=\dfrac{2\pi n d}{\lambda}\) 에서 \(\delta=\dfrac{\pi}{2}\) 를 대입하면
$$ \frac{2\pi n d_1}{\lambda}=\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad d_1=\frac{\lambda}{4n}. $$
따라서 원하는 값들은
\[ d_1=\frac{\lambda}{4n},\qquad n_s=\frac{3}{2},\qquad n=\frac{3\sqrt{3}}{2} \]
가 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>