정답
\[ \Phi(x)=\frac{\mu_{0} I a}{2\pi}\ln\!\left(\frac{x+a}{x}\right),\qquad \mathcal{E}=\frac{\mu_{0} I v a^{2}}{2\pi\,x(x+a)} \] 이며, 유도 전류는 고리를 위에서 보았을 때 반시계방향(시계 반대방향)으로 흐른다.
출제 의도
무한 직선 도선의 자기장 표현을 알고, 고리와의 거리 변화에 따른 자기선속 변화를 적분과 미분으로 계산할 수 있는지를 평가한다. 또한 패러데이 법칙과 렌츠 법칙을 이용하여 유도 기전력의 크기와 유도 전류의 방향을 구하는 것이 목표이다.
풀이 과정
무한히 긴 직선 도선에 전류 \(I\)가 흐를 때, 도선에서 거리 \(r\)인 곳의 자기장 크기는
$$ B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r} $$
이고, 방향은 오른손 법칙에 따라 도선을 중심으로 동심원 모양이다. 도선이 \(y\)축 위에 있고 전류가 \(-y\) 방향이므로, \(x>0\) 쪽(고리가 있는 쪽)에서는 자기장이 \(+z\) 방향(면 밖 방향)이다.
한 변의 길이가 \(a\)인 정사각형 도체 고리의 왼쪽 변이 도선으로부터 거리 \(x\)에 있고, 오른쪽 변은 거리 \(x+a\)에 있다. 고리는 \(xy\) 평면에 놓여 있으므로, 면적 벡터는 \(+z\) 방향이다.
고리를 통과하는 자기선속 \(\Phi(x)\)는
$$ \Phi(x)=\int B\cdot dA =\int_{x}^{x+a} B(r)\,a\,dr =\int_{x}^{x+a} \frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\,a\,dr $$
$$ \Phi(x)=\frac{\mu_{0} I a}{2\pi}\int_{x}^{x+a}\frac{dr}{r} =\frac{\mu_{0} I a}{2\pi}\ln\!\left(\frac{x+a}{x}\right). $$
고리가 \(+x\) 방향 속도 \(v\)로 움직이므로, 시간에 따라 \(x=x(t)\)이며 \(dx/dt=v\)이다. 패러데이 법칙에 의해 유도 기전력은
$$ \mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\Phi}{dx}\frac{dx}{dt}. $$
먼저 \(\Phi\)를 \(x\)로 미분하면
$$ \frac{d\Phi}{dx} =\frac{\mu_{0} I a}{2\pi}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}\right) =\frac{\mu_{0} I a}{2\pi}\left(\frac{x-(x+a)}{x(x+a)}\right) =-\frac{\mu_{0} I a^{2}}{2\pi x(x+a)}. $$
따라서
$$ \mathcal{E} =-\left(-\frac{\mu_{0} I a^{2}}{2\pi x(x+a)}\right)v =\frac{\mu_{0} I v a^{2}}{2\pi x(x+a)}. $$
이 값이 유도 기전력의 크기이다.
유도 전류의 방향은 렌츠 법칙으로 결정한다. 고리가 도선에서 멀어지면서 \(x\)가 증가하므로, 자기선속 \(\Phi(x)\propto \ln\!\left(\frac{x+a}{x}\right)\)는 감소한다. 즉 밖으로 향하는 자기선속이 줄어든다.
따라서 유도 전류는 밖으로 향하는 자기장을 증가시키는 방향이어야 한다. 오른손 법칙에 따라, 면 밖( \(+z\) 방향)으로 자기장을 만들기 위해서는 전류가 반시계방향으로 흘러야 한다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>