정답
에너지 고윳값은 \[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2}{2MR^2} \] 이고, 섭동항 \(H’=-\dfrac{\mu}{\hbar}B_0 L_z\)에 의한 1차 에너지 변화량은 \[ \Delta E_n = -\,\mu B_0 n \] 이다.
출제 의도
원 궤도에 속박된 입자의 해밀토니언을 이용해 각운동량 연산자의 고유함수와 고윳값을 구하고, 주어진 파동함수의 에너지 고윳값을 계산하는 과정을 묻는다. 이어서 약한 자기장에 의한 선형 섭동 \(H’\)에 대해, 각운동량 고윳값을 이용해 1차 에너지 보정을 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
자료에 따르면, 질량 \(m\), 반지름 \(r\)인 원 궤도에 속박된 입자의 해밀토니언은
$$ H_0 = \frac{L_z^2}{2mr^2}, \qquad L_z = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\phi} $$
이다. 이 문제에서는 질량이 \(M\), 반지름이 \(R\)이므로
$$ H_0 = \frac{L_z^2}{2MR^2} $$
가 된다.
파동함수
$$ \psi_n(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{in\phi} $$
는 각운동량 연산자 \(L_z\)의 고유함수이다. 실제로
$$ L_z \psi_n(\phi) = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\phi} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{in\phi}\right) = \hbar n \psi_n(\phi) $$
이므로 고윳값은 \(\hbar n\)이다. 따라서
$$ L_z^2 \psi_n = (\hbar n)^2 \psi_n $$
이고, 해밀토니언의 작용은
$$ H_0\psi_n = \frac{L_z^2}{2MR^2}\psi_n = \frac{\hbar^2 n^2}{2MR^2} \psi_n $$
이 되어 에너지 고윳값은
$$ E_n = \frac{\hbar^2 n^2}{2MR^2} $$
이다.
다음으로 약한 균일 자기장 \(\vec B = B_0 \hat z\)가 있을 때의 섭동 해밀토니언은
$$ H’ = -\frac{\mu}{\hbar} B_0 L_z $$
라고 주어져 있다. 1차 섭동론에서 에너지의 변화량은
$$ \Delta E_n = \langle \psi_n | H’ | \psi_n \rangle $$
이다. \(\psi_n\)가 \(L_z\)의 고유상태이므로
$$ H’\psi_n = -\frac{\mu}{\hbar} B_0 (\hbar n)\psi_n = -\mu B_0 n\,\psi_n $$
이고, 따라서
$$ \Delta E_n = -\mu B_0 n $$
이 된다.
결론적으로, 자기장이 없을 때의 에너지 고윳값은 \(\displaystyle E_n = \dfrac{\hbar^2 n^2}{2MR^2}\), 약한 자기장 \(\vec B = B_0\hat z\)에 의한 1차 에너지 변화량은 \(\displaystyle \Delta E_n = -\mu B_0 n\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>