정답
\(\displaystyle h_{\max} = \frac{\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}\,R\), \(\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
출제 의도
중력장이 \(1/r^{2}\)에 비례하는 상황에서 역학적 에너지 보존법칙을 적용하여 탈출속도와 임의의 초기 속도 사이의 관계를 이용해 최대 높이를 구하고, 중력 가속도의 비를 통해 해당 높이를 결정한 후 다시 초기 속도 비 \(\alpha\)를 구하는 능력을 묻는다.
풀이 과정
지구의 질량을 \(M\), 반지름을 \(R\)라 하면 지표면에서의 탈출 속력은
$$ v_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$
이다. 여기서 \(G\)는 만유인력 상수이다.
질량 \(m\)인 물체를 지표면에서 속력 \(v=\alpha v_0\)로 위로 쏘면, 지표면(반지름 \(R\))에서의 역학적 에너지는
$$ E_{\text{지표}} = \frac{1}{2}m(\alpha v_0)^2 – \frac{GMm}{R}. $$
\(v_0^2 = \dfrac{2GM}{R}\)를 대입하면
$$ E_{\text{지표}} = \frac{1}{2}m\alpha^2\cdot\frac{2GM}{R} – \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{R}(\alpha^2-1). $$
최대 높이에서의 속력은 0이므로, 그때 반지름을 \(R+h\)라 하면 역학적 에너지는
$$ E_{\text{최대}} = -\frac{GMm}{R+h}. $$
역학적 에너지 보존에 의해 \(E_{\text{지표}}=E_{\text{최대}}\) 이므로
$$ \frac{GMm}{R}(\alpha^2-1) = -\frac{GMm}{R+h}. $$
양변을 \(GMm\)으로 나누면
$$ \frac{\alpha^2-1}{R} = -\frac{1}{R+h} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{R+h} = \frac{1-\alpha^2}{R}. $$
따라서
$$ R+h = \frac{R}{1-\alpha^2}, \qquad h = \frac{R}{1-\alpha^2} – R = \frac{\alpha^2}{1-\alpha^2}R. $$
이것이 지표면으로부터의 최대 높이이다.
이제 최대 높이에서의 중력 가속도를 이용해 \(\alpha\)를 구한다. 중력 가속도는 거리 \(r\)에서
$$ g(r) = \frac{GM}{r^2} $$
이며 지표면에서는 \(g(R)=\dfrac{GM}{R^2}\)이다. 최대 높이에서 \(r=R+h\)이고, 문제에서 이때의 중력 가속도가 지표면의 \(\dfrac14\)라 했으므로
$$ \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{4}\frac{GM}{R^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{4R^2} \quad\Rightarrow\quad R+h = 2R. $$
따라서 \(h=R\)이고, 앞서 구한 식
$$ h = \frac{\alpha^2}{1-\alpha^2}R $$
에 대입하면
$$ \frac{\alpha^2}{1-\alpha^2}R = R \quad\Rightarrow\quad \frac{\alpha^2}{1-\alpha^2}=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha^2 = 1-\alpha^2 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha^2 = \frac{1}{2}. $$
따라서 \(\alpha>0\)이므로
$$ \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}. $$
정리하면, 물체의 최대 높이는 \(h=\dfrac{\alpha^2}{1-\alpha^2}R\) 이고, 중력 가속도가 지표면의 \(\dfrac14\)일 때 \(\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>