정답
\(\displaystyle C=\frac{mE}{qB^2},\quad t_P=\frac{\pi}{\omega}=\frac{\pi m}{qB},\quad \frac{F_E}{F_M}=\frac12\)이다.
출제 의도
주어진 사이클로이드 운동의 위치식에서 속도를 미분으로 구해 초기조건(처음 정지)을 만족시키는 상수를 결정하고, 궤적의 최고점 도달 조건을 주기 성질로 찾은 뒤, 로렌츠 힘에서 전기력과 자기력의 크기를 속력으로 비교하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 위치는 \(y(t)=\left(\frac{E}{B}\right)t-C\sin(\omega t)\), \(z(t)=C(1-\cos(\omega t))\)이다. 속도 성분은 미분하여
$$ \dot y(t)=\frac{E}{B}-C\omega\cos(\omega t),\qquad \dot z(t)=C\omega\sin(\omega t) $$
\(t=0\)에서 속력이 0이려면 \(\dot y(0)=0\), \(\dot z(0)=0\)이어야 한다. \(\sin 0=0\)이므로 \(\dot z(0)=0\)은 자동으로 만족하고, \(\cos 0=1\)을 이용하면
$$ \dot y(0)=\frac{E}{B}-C\omega=0 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{E/B}{\omega} $$
또 \(\omega=\frac{qB}{m}\)이므로
$$ C=\frac{E/B}{qB/m}=\frac{mE}{qB^2} $$
사이클로이드의 최고점은 \(z(t)\)가 최대일 때이며, \(z(t)=C(1-\cos\omega t)\)에서 \(\cos(\omega t)\)가 최소인 \(-1\)일 때 최대가 된다. 따라서
$$ \cos(\omega t_P)=-1\quad\Rightarrow\quad \omega t_P=\pi \quad\Rightarrow\quad t_P=\frac{\pi}{\omega}=\frac{\pi m}{qB} $$
이제 \(P\)에서 전기력 크기는 항상
$$ F_E=qE $$
자기력 크기는 \(F_M=qvB\sin\theta\)인데, \(\vec B=B\hat x\)이고 속도는 \(y\)-\(z\)평면에 있으므로 항상 \(\theta=90^\circ\)여서 \(\sin\theta=1\)이다. 즉 \(F_M=qBv\)이다.
\(t=t_P=\pi/\omega\)에서 \(\cos(\pi)=-1\), \(\sin(\pi)=0\)이므로
$$ \dot y(t_P)=\frac{E}{B}-C\omega\cos(\pi)=\frac{E}{B}+C\omega $$
초기조건에서 \(C\omega=\frac{E}{B}\)였으므로
$$ \dot y(t_P)=\frac{E}{B}+\frac{E}{B}=\frac{2E}{B},\qquad \dot z(t_P)=0 $$
따라서 \(P\)에서 속력은 \(v=\frac{2E}{B}\)이고
$$ F_M=qBv=qB\cdot\frac{2E}{B}=2qE $$
그러므로
$$ \frac{F_E}{F_M}=\frac{qE}{2qE}=\frac12 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>