정답
\(\langle S^2\rangle=\dfrac{3}{4}\hbar^2\), \(\langle[\,S_y,S_z\,]\rangle=0\), \(\mathbb{P}(S_x=\hbar/2)=\dfrac12\)이다.
출제 의도
스핀 1/2 스피너에 대해 연산자 행렬을 이용하여 기대값을 계산하고, 교환자와 스핀 대수 관계를 활용하며, 특정 축의 측정확률을 해당 고유상태로의 사영(내적)으로 구할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 스피너는
$$ \chi=\frac15\begin{pmatrix}-3i\\4\end{pmatrix} $$
이며 \(\left|\!-3i\right|^2+|4|^2=9+16=25\)이므로 \(\chi^\dagger\chi=1\)로 이미 규격화되어 있다.
\(S_x,S_y,S_z\)는 자료와 같이
$$ S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad S_y=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix},\quad S_z=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} $$
이다. 먼저 각 항을 제곱하면 (파울리 행렬 성질로) \(\sigma_x^2=\sigma_y^2=\sigma_z^2=I\)이므로
$$ S_x^2=S_y^2=S_z^2=\frac{\hbar^2}{4}I $$
따라서
$$ S^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2=\frac{3\hbar^2}{4}I $$
이고, 규격화된 상태에서
$$ \langle S^2\rangle=\chi^\dagger S^2\chi=\frac{3\hbar^2}{4}\chi^\dagger I\chi=\frac{3}{4}\hbar^2 $$
다음으로 교환자는 스핀 대수로부터 \([S_y,S_z]=i\hbar S_x\)가 성립한다(주어진 행렬로 직접 곱해도 동일). 그러므로
$$ \langle[\,S_y,S_z\,]\rangle=i\hbar\,\langle S_x\rangle $$
\(\langle S_x\rangle\)를 계산하면
$$ S_x\chi=\frac{\hbar}{2}\cdot\frac15\begin{pmatrix}4\\-3i\end{pmatrix} $$
또한 \(\chi^\dagger=\frac15\begin{pmatrix}3i&4\end{pmatrix}\)이므로
$$ \langle S_x\rangle=\chi^\dagger S_x\chi =\frac{1}{25}\cdot\frac{\hbar}{2}\left((3i)\cdot 4+4\cdot(-3i)\right) =\frac{1}{25}\cdot\frac{\hbar}{2}(12i-12i)=0 $$
따라서
$$ \langle[\,S_y,S_z\,]\rangle=i\hbar\cdot 0=0 $$
이제 \(S_x\)의 측정값이 \(\hbar/2\)일 확률을 구한다. \(S_x\)의 고유값 \(+\hbar/2\)에 대응하는 정규화 고유스피너는
$$ |+x\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} $$
이므로 확률은 \(\left|\langle +x|\chi\rangle\right|^2\)이다.
$$ \langle +x|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\cdot \frac15\begin{pmatrix}-3i\\4\end{pmatrix} =\frac{1}{5\sqrt2}(4-3i) $$
$$ \mathbb{P}(S_x=\hbar/2)=\left|\langle +x|\chi\rangle\right|^2 =\frac{1}{50}|4-3i|^2 =\frac{1}{50}(16+9)=\frac12 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>