정답
\(A\)의 고윳값은 \(3,\ \dfrac12+\dfrac{\sqrt7}{2}i,\ \dfrac12-\dfrac{\sqrt7}{2}i\) 이고, 대각합은 \(\operatorname{tr}A=4\), 행렬식은 \(\det A =6\) 이다.
출제 의도
실수 성분을 갖는 \(3\times3\) 행렬의 고윳값이 주어졌을 때, 잉여다항식과 최소다항식 조건을 이용하여 나머지 고윳값들을 결정하고, 순환다항식의 근과 행렬의 대각합·행렬식 사이의 관계를 활용하여 값을 구하는지를 묻는다.
풀이 과정
(가)에서 \(A-3I\)가 역행렬을 갖지 않으므로 \(3\)이 \(A\)의 고윳값이다.
(나)에 의해 \(A\)의 특성다항식은 허근 \(\alpha\)를 가지며 \(|\alpha|=\sqrt2\) 이다. 행렬 \(A\)의 모든 성분이 실수이므로, 허근 \(\alpha\)가 고윳값이면 켤레복소수 \(\overline{\alpha}\)도 고윳값이다.
따라서 \(A\)의 고윳값을
$$ \lambda_1=3,\quad \lambda_2=\alpha,\quad \lambda_3=\overline{\alpha} $$
라 놓을 수 있다.
이제 \(B = A^2 – A + 5I\)를 보자. 고윳값-다항식 관계에 의해, \(A\)의 고윳값 \(\lambda\)에 대응하는 \(B\)의 고윳값은
$$ \mu = \lambda^2 – \lambda + 5 $$
이다. 따라서 \(B\)의 고윳값은
$$ \mu_1 = 3^2 – 3 + 5 = 11,\quad \mu_2 = \alpha^2 – \alpha + 5,\quad \mu_3 = \overline{\alpha}^2 – \overline{\alpha} + 5. $$
행렬 \(A\)는 서로 다른 세 고윳값을 가지므로 (복소수 체에서) 대각화 가능하다. 다항식 \(p(t)=t^2-t+5\)는 실수 계수를 가지므로, \(B=p(A)\) 역시 대각화 가능하며, \(B\)의 최소다항식은 서로 다른 고윳값에 해당하는 1차 인수들의 곱이다.
문제 (다)에 따르면 \(B\)의 최소다항식의 차수는 특성다항식의 차수(3)보다 작아야 하므로, \(B\)는 서로 다른 고윳값을 2개 이하만 가져야 한다. 즉, \(\mu_2\)와 \(\mu_3\)는 서로 같아야 한다.
그런데 \(p(t)\)의 계수는 실수이므로
$$ \mu_3 = \overline{\mu_2} $$
이다. 두 수가 같으면서 서로 켤레이려면 실수여야 하므로, \(\mu_2\)는 실수이다. \(\alpha = x+yi\) \((y\ne0)\)라 두면
$$ \alpha^2 – \alpha = (x^2-y^2-x) + (2xy-y)i $$
이므로 \(\alpha^2-\alpha+5\)가 실수가 되려면 허수부가 0이어야 한다. 즉
$$ 2xy – y = y(2x-1) = 0 $$
이고 \(y\ne0\)이므로
$$ 2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac12. $$
또한 \(|\alpha|=\sqrt2\) 이므로
$$ x^2 + y^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac12\right)^2 + y^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad y^2 = \frac74,\quad y=\pm\frac{\sqrt7}{2}. $$
따라서
$$ \alpha = \frac12 \pm \frac{\sqrt7}{2}i. $$
이제 \(\mu_2\)를 계산하면
\[ \alpha^2 = \left(\frac12\right)^2 – \left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2 + 2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt7}{2}i = -\frac32 \pm \frac{\sqrt7}{2}i, \]
\[ \alpha^2 – \alpha = \left(-\frac32 \pm \frac{\sqrt7}{2}i\right) – \left(\frac12 \pm \frac{\sqrt7}{2}i\right) = -2. \]
따라서
$$ \mu_2 = \alpha^2 – \alpha + 5 = -2 + 5 = 3, $$
그리고 \(\mu_3=\mu_2=3\) 이다. 즉
$$ \{\text{고윳값 } \mu_i\} = \{11,3,3\} $$
이며, 서로 다른 고윳값이 두 개이므로 \(B\)의 최소다항식은 \((t-11)(t-3)\) (차수 2)가 되어 (다)를 만족한다.
정리하면, \(A\)의 고윳값은
$$ 3,\quad \frac12+\frac{\sqrt7}{2}i,\quad \frac12-\frac{\sqrt7}{2}i $$
이다.
이제 대각합과 행렬식을 구한다. 대각합은 고윳값의 합과 같으므로
$$ \operatorname{tr}A = 3 + \left(\frac12+\frac{\sqrt7}{2}i\right) + \left(\frac12-\frac{\sqrt7}{2}i\right) = 3 + \frac12 + \frac12 = 4. $$
행렬식은 고윳값의 곱과 같으므로
$$ \det A = 3\left(\frac12+\frac{\sqrt7}{2}i\right) \left(\frac12-\frac{\sqrt7}{2}i\right) = 3\left[\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2\right] = 3\cdot2 = 6. $$
따라서 \(A\)의 모든 고윳값, 대각합, 행렬식은 앞에서 제시한 값과 같다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>