정답
집합 \(A\)는 콤팩트 집합이다. 함수 \(f(a,b,c,d)=ad-bc\)의 치역은 \(\{-1,1\}\)이고, 이로부터 \(A\)는 연결집합이 아님(두 개의 연결 성분을 가짐)을 알 수 있다.
출제 의도
\(\mathbb{R}^n\)의 부분집합이 닫히고 유계이면 콤팩트임을 이용하여 콤팩트를 보이게 하고, 주어진 조건을 행렬로 해석하여 \(2\times2\) 직교행렬들의 집합과 같다는 것을 파악하여 행렬식의 값을 구하게 한다. 또한 연속함수의 상은 연결집합이면 그 상도 연결이라는 성질의 역 contrapositive 를 이용하여 연결성 여부를 판단하게 하는 문제이다.
풀이 과정
\(A\subset\mathbb{R}^4\)는 다음과 같이 주어진다.
$$ A=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4\mid a^2+b^2=1,\;c^2+d^2=1,\;ac+bd=0\}. $$
먼저 \(A\)가 콤팩트임을 보이자. \(\mathbb{R}^4\)에서 함수
$$ g_1(a,b,c,d)=a^2+b^2-1,\quad g_2(a,b,c,d)=c^2+d^2-1,\quad g_3(a,b,c,d)=ac+bd $$
는 모두 연속함수이다. 그러므로 조건
$$ g_1=0,\quad g_2=0,\quad g_3=0 $$
으로 정의된 집합 \(A\)는 연속함수의 역영상이므로 닫힌 집합이다.
또한 \(a^2+b^2=1,\;c^2+d^2=1\)에서 \(|a|,|b|,|c|,|d|\le1\) 이므로 \(A\)는 어떤 큰 구 안에 들어가 유계이다. \(\mathbb{R}^4\)에서는 “닫히고 유계이면 콤팩트” 즉 하이네–보렐 정리가 성립하므로,
$$ A \text{ 는 콤팩트 집합이다.} $$
다음으로 함수 \(f(a,b,c,d)=ad-bc\)의 치역을 구하자. 다음과 같은 \(2\times2\) 행렬을 생각한다.
$$ M= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}. $$
조건 \(a^2+b^2=1,\;c^2+d^2=1,\;ac+bd=0\)은 \(M\)의 두 행 벡터 \((a,b), (c,d)\)가 서로 직교하는 단위벡터임을 의미한다. 즉
$$ MM^{\mathsf T}=I_2 $$
이므로 \(M\)은 \(2\times2\) 직교행렬이다.
양변의 determinant를 취하면
$$ \det(MM^{\mathsf T})=\det(I_2)=1, $$
$$ \det(MM^{\mathsf T})=\det(M)\det(M^{\mathsf T}) =(\det M)^2. $$
따라서
$$ (\det M)^2=1 \quad\Rightarrow\quad \det M = \pm1. $$
그런데 \(\det M = ad-bc = f(a,b,c,d)\) 이므로 \(f(A)\subset\{-1,1\}\) 이다. 두 값이 실제로 모두 얻어지는지 확인하자.
\((a,b,c,d)=(1,0,0,1)\in A\) 이고 이때 \(f=1\). 또한 \((a,b,c,d)=(1,0,0,-1)\in A\) 이고 이때 \(f=-1\). 따라서
$$ f(A)=\{-1,1\}. $$
이제 이를 이용해 \(A\)의 연결성을 판단한다. \(f\)는 다항식으로 주어진 함수이므로 \(\mathbb{R}^4\)에서 연속이고, 따라서 \(A\) 위에서도 연속이다.
만약 \(A\)가 연결집합이라면, 연속함수 \(f\)의 상 \(f(A)\)는 실수선 \(\mathbb{R}\)에서 연결집합이어야 한다. 그러나
$$ f(A)=\{-1,1\} $$
은 서로 떨어진 두 점으로 이루어진 집합으로, \(\mathbb{R}\)에서 연결이 아니다. 연결집합의 연속상은 항상 연결이므로, 이와 모순된다. 따라서
$$ A \text{ 는 연결집합이 아니다.} $$
다르게 말하면,
$$ A_+ = \{(a,b,c,d)\in A \mid ad-bc=1\}, \quad A_- = \{(a,b,c,d)\in A \mid ad-bc=-1\} $$
라 두면 \(A = A_+ \cup A_-\), \(A_+\cap A_-=\varnothing\) 이고, 각각은 \(f\)의 연속성과 \(\{1\},\{-1\}\)의 열림/닫힘을 이용해 \(A\) 안에서 동시에 열리고 닫힌 부분집합이다. 또한 둘 다 공집합이 아니므로 \(A\)는 두 개의 분리된 성분을 가진 비연결 집합임이 확실하다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>