정답
\(a^{2}+b^{2}=\dfrac{3}{2}\), 곡률은 \(\displaystyle \kappa=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)이다.
출제 의도
공간 곡선이 두 곡면의 교선으로 주어졌을 때, 곡선을 매개변수화하여 접선 방향 벡터를 구하고, 주어진 직선과의 조건으로 상수를 결정한 뒤, 곡률 공식을 이용해 곡률을 계산하는 능력을 평가하는 문제이다.
풀이 과정
곡선 \(C\)는
\[ y=e^{ax},\qquad yz=b \]
를 동시에 만족시키는 점들의 집합이므로, 이를 \(x\)로 매개변수화하면
\[ y=e^{ax},\quad z=\frac{b}{y}=b e^{-ax} \]
이 되어 곡선의 매개화는
\[ \mathbf{r}(x)=(x,\ e^{ax},\ b e^{-ax}) \]
이다.
yz-평면과의 교점은 \(x=0\)에서 얻어지므로 점 \(P\)는
\[ P=(0,\ e^{0},\ b e^{0})=(0,1,b) \]
이다.
접선 벡터는 \(\mathbf{r}'(x)\)이므로
\[ \mathbf{r}'(x)=(1,\ a e^{ax},\ -ab e^{-ax}) \]
이고, \(x=0\)에서
\[ \mathbf{r}'(0)=(1,a,-ab) \]
이다. 따라서 \(P\)에서의 접선은 방향 벡터 \((1,a,-ab)\)을 갖는다.
이 접선이 점 \(Q=(2\sqrt{2},3,-1)\)를 지난다는 조건을 쓰면, 어떤 실수 \(t\)에 대해
\[ (0,1,b)+t(1,a,-ab)=(2\sqrt{2},3,-1) \]
이다. 좌표별로 풀면
\[ t=2\sqrt{2},\qquad 1+a t=3,\qquad b-abt=-1. \]
둘째 식에서
\[ a t=2 \ \Rightarrow\ a=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \]
이고, 이 값을 셋째 식에 대입하면 \(a t=2\)이므로
\[ b(1-2)=-1\ \Rightarrow\ -b=-1\ \Rightarrow\ b=1 \]
을 얻는다. 따라서
\[ a^{2}+b^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} \]
이다.
이제 점 \(P\)에서의 곡률을 구한다. 곡률 공식은
\[ \kappa=\frac{\left\lVert \mathbf{r}'(x)\times\mathbf{r}”(x)\right\rVert}{\left\lVert \mathbf{r}'(x)\right\rVert^{3}} \]
이다.
\(a=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\ b=1\)을 대입하면
\[ \mathbf{r}'(x)=(1, a e^{ax}, -a e^{-ax}),\quad \mathbf{r}”(x)=(0, a^{2} e^{ax}, a^{2} e^{-ax}) \]
이고, \(x=0\)에서
\[ \mathbf{r}'(0)=(1,a,-a),\quad \mathbf{r}”(0)=(0,a^{2},a^{2}) \]
이다.
여기서 \(a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(a^{2}=\dfrac{1}{2}\)이므로
\[ \mathbf{r}'(0)=(1,\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}),\quad \mathbf{r}”(0)=(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}). \]
외적을 계산하면
\[ \mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}”(0) =\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) \]
이고, 그 노름은
\[ \left\lVert\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}”(0)\right\rVert =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1 \]
이다.
또한
\[ \left\lVert\mathbf{r}'(0)\right\rVert= \sqrt{1+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{1+2\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \]
이므로
\[ \kappa =\frac{1}{(\sqrt{2})^{3}} =\frac{1}{2\sqrt{2}} \]
가 된다.
따라서 \(a^{2}+b^{2}=\dfrac{3}{2}\), 점 \(P\)에서의 곡률은 \(\displaystyle \kappa=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>