정답
\(G/H\)의 생성원 개수는 \(192\)개이고, \(G/H=(K/H)(L/H)\)를 만족시키는 \(G\)의 부분군 \(L\)의 개수는 \(8\)개이다.
출제 의도
순환군의 잉여군이 다시 순환군이 됨을 이용하여, 군의 크기와 오일러 피함수로부터 생성원의 개수를 구하는 법을 묻는다. 또한 순환군의 부분군이 약수와 일대일 대응함을 이용하여, 주어진 한 부분군과 곱하여 전체 군을 만드는 다른 부분군의 개수를 계산하는 과정을 이해하고 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 순환군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대해 지수 \(|G:H|=520\)이므로, 잉여군 \(G/H\)는 순환군이며 그 크기는
$$ |G/H| = |G:H| = 520 $$
이다. 순환군의 생성원 개수는 그 군의 크기 \(n\)에 대한 오일러 피함수 \(\varphi(n)\)이다.
520을 소인수분해하면
$$ 520 = 2^3\cdot5\cdot13 $$
이므로
$$ \varphi(520) =520\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac15\right)\left(1-\frac1{13}\right) =520\cdot\frac12\cdot\frac45\cdot\frac{12}{13} =192. $$
따라서 \(G/H\)의 생성원 개수는 \(192\)개이다.
이제 두 번째 물음을 풀자. \(aH\)는 \(G/H\)의 생성원이므로 \(G/H=\langle aH\rangle\) 이고, 크기는 520이다. 또한
$$ K/H=\langle (aH)^{35}\rangle $$
이므로, 순환군에서 멱원으로 생성되는 부분군의 크기 공식을 사용하면
$$ |K/H|=\frac{|G/H|}{\gcd(520,35)}=\frac{520}{5}=104 $$
이 된다. 따라서 \(K/H\)의 지수는
$$ |(G/H):(K/H)|=\frac{520}{104}=5 $$
이다.
이제 문제는 다음과 같이 바뀐다. 크기 520인 순환군 \(C=G/H\) 안에 크기 104인 부분군 \(K’=K/H\)가 고정되어 있을 때, 곱집합 \(K’L’=C\)를 만족시키는 부분군 \(L’\le C\)의 개수를 구하는 것이다. 여기서 \(L’\)와 \(G\)의 부분군 \(L\)는 \(L’ = L/H\)로 일대일 대응한다.
순환군 \(C\)는 한 원소 \(g\)로 생성된다고 두고, \(K’=\langle g^5\rangle\) 로 둘 수 있다. (\(|C|=520\), \(|K’|=104\), 지수 5). 임의의 부분군 \(L’=\langle g^{b}\rangle\)에 대해, \(K’L’=C\)가 되려면 두 부분군이 생성하는 부분군의 크기가 520이 되어야 한다. 순환군에서
$$ \langle g^5, g^{b}\rangle = \langle g^{\gcd(5,b)}\rangle $$
이므로, 전체 군 \(C\)가 되기 위해서는
$$ \gcd(5,b)=1 $$
이 되어야 한다.
한편, 크기가 \(t\)인 부분군은 항상 \(g^{520/t}\)로 생성할 수 있다. 즉, \(b=520/t\)라 두면, 위 조건은
$$ \gcd\!\left(5,\frac{520}{t}\right)=1 $$
으로 바뀐다. \(520=2^3\cdot5\cdot13\)이므로, \(\dfrac{520}{t}\)가 5의 배수가 되지 않아야 한다. 이는 곧 \(t\)가 정확히 한 번의 5를 인수로 가져야 함을 뜻한다. 즉,
$$ t=5\cdot2^{\alpha}\cdot13^{\beta}, \qquad 0\le\alpha\le3,\; 0\le\beta\le1 $$
이다. 가능한 \((\alpha,\beta)\)의 쌍은 \(4\times2=8\)개이므로, 가능한 \(t\) (즉, 가능한 부분군의 크기)는 8가지이다.
순환군에서는 같은 크기의 부분군이 오직 하나뿐이므로, 이 8가지 크기에 대해 각각 정확히 하나의 부분군 \(L’\)이 존재한다. 따라서 조건 \(K’L’=C\)를 만족하는 부분군 \(L’\)의 개수는 8개이고, 이에 대응하는 \(G\)의 부분군 \(L\) 역시 8개이다.
따라서 \(G/H=(K/H)(L/H)\)를 만족시키는 \(G\)의 부분군 \(L\)의 개수는 \(8\)개이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>