정답
\(a = -\dfrac12\), \(\dfrac{\text{4}p_x\ \text{궤도함수의 기여도}}{\text{4}s\ \text{궤도함수의 기여도}} = 2\) 이다.
출제 의도
사각 평면 착이온의 \(sp^2d\) 혼성 궤도에서 혼성 궤도함수들이 서로 직교하고 정규화되어야 한다는 조건을 이용하여 계수의 값을 구하는 문제이다.
또한 혼성 궤도에서 특정 원자 궤도함수의 “기여도”가 계수의 제곱에 비례한다는 사실을 사용하여 s, p, d 성분의 비를 구하도록 묻고 있다.
풀이 과정
주어진 두 혼성 궤도함수는 다음과 같다.
$$ \psi_1 = \frac12 \psi_{4s} + \sqrt{\frac12}\,\psi_{4p_x} + \frac12 \psi_{3d_{x^2-y^2}} $$
$$ \psi_2 = \frac12 \psi_{4s} – \sqrt{\frac12}\,\psi_{4p_y} + a\,\psi_{3d_{x^2-y^2}} $$
모든 원자 궤도함수 \(\psi_{4s}, \psi_{4p_x}, \psi_{4p_y}, \psi_{3d_{x^2-y^2}}\) 는 서로 직교하고 각각 정규화되어 있다고 하였다.
먼저 \(\psi_1\) 과 \(\psi_2\) 는 서로 직교해야 한다. 따라서 스칼라곱 \(\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = 0\) 이다.
$$ \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = \left(\frac12\right)\left(\frac12\right)\langle 4s|4s\rangle + \left(\sqrt{\frac12}\right)(0)\langle 4p_x|4p_y\rangle + \left(\frac12\right)a\langle 3d_{x^2-y^2}|3d_{x^2-y^2}\rangle $$
정규화와 직교성 때문에 \(\langle 4s|4s\rangle = 1\), \(\langle 3d_{x^2-y^2}|3d_{x^2-y^2}\rangle = 1\), 다른 교차항은 0 이다. 따라서
$$ \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = \frac14 + \frac{a}{2} = 0 $$
위 식으로부터
$$ \frac{a}{2} = -\frac14 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac12 $$
다음으로 \(\psi_1\) 이 Ni–C \(\sigma\) 결합에 사용될 때, 4\(p_x\) 궤도함수의 기여도와 4s 궤도함수의 기여도의 비를 구한다.
혼성 궤도에서 특정 원자 궤도함수의 기여도(비율)는 그 궤도함수에 곱해진 계수의 제곱에 비례한다. \(\psi_1\) 에서 계수는 다음과 같다.
\(\psi_{4s}\) 의 계수: \(\dfrac12\) 이므로 기여도 \(\propto \left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac14\)
\(\psi_{4p_x}\) 의 계수: \(\sqrt{\dfrac12}\) 이므로 기여도 \(\propto \left(\sqrt{\dfrac12}\right)^2 = \dfrac12\)
따라서 4\(p_x\) 궤도함수의 기여도와 4s 궤도함수의 기여도의 비는
$$ \frac{\text{4}p_x\ \text{기여도}}{\text{4}s\ \text{기여도}} = \frac{\dfrac12}{\dfrac14} = 2 $$
따라서 \(a = -\dfrac12\), 그리고 \(\dfrac{\text{4}p_x\ \text{기여도}}{\text{4}s\ \text{기여도}} = 2\) 가 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>