정답
\(m_l=+3\) 상태에서 \(\langle\phi\rangle=\pi\) 이다. Cyclic-\(\mathrm{C}_{10}\)의 최고 점유 준위에 있는 한 전자의 각운동량 크기는 \(|L_z|=2\hbar\) 이고, 한 개의 \(e_\pi\) 가 들뜨는 데 필요한 최소 에너지는 \(\Delta E = \dfrac{5\hbar^2}{2m_eR^2}\) 이다.
출제 의도
원 위에서의 자유 입자를 양자역학적으로 기술한 모형(입자의 파동함수, 에너지 고유값, 각운동량 연산자)을 이해하고, 기대값 계산과 각운동량 양자수 \(m_l\) 와의 관계를 묻는 문제이다. 또한 cyclic-\(\mathrm{C}_{10}\)의 \(\pi\) 전자들을 원 위의 자유 전자로 보는 입자-원모형을 이용하여 전자 배치(에너지 준위 채움)와 각운동량, 들뜸에 필요한 최소 에너지 차를 구하게 하는 것이 목적이다.
풀이 과정
먼저 반지름 \(a\) 의 원운동을 하는 질량 \(m\) 의 자유 입자에 대해 주어진 고유파동함수는
$$ \psi_{m_l}(\phi)=\frac{e^{im_l\phi}}{\sqrt{2\pi}},\qquad E_{m_l}=\frac{m_l^2\hbar^2}{2ma^2},\qquad m_l=0,\pm1,\pm2,\dots $$
이다. 각변수 \(\phi\) 의 기대값은
$$ \langle\phi\rangle=\int_0^{2\pi}\psi_{m_l}^*(\phi)\,\phi\,\psi_{m_l}(\phi)\,d\phi $$
로 정의된다. \(\psi_{m_l}(\phi)\) 의 크기는 \(1/\sqrt{2\pi}\) 로서 \(|\psi_{m_l}(\phi)|^2 = 1/(2\pi)\) 이므로, \(m_l\) 값과 무관하게
$$ \langle\phi\rangle =\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\phi\,d\phi =\frac1{2\pi}\left[\frac{\phi^2}{2}\right]_0^{2\pi} =\frac1{2\pi}\cdot\frac{(2\pi)^2}{2} =\pi $$
이다. 따라서 \(m_l=+3\) 상태에서도 \(\langle\phi\rangle=\pi\) 이다.
다음으로 cyclic-\(\mathrm{C}_{10}\) 의 \(\pi\) 전자를 원 위의 자유 전자로 본다. 탄소 10개가 각각 \(\pi\) 전자 1개씩을 제공하므로, 반지름 \(R\) 위에서 운동하는 \(\pi\) 전자는 총 10개이다.
입자-원 모형에서 에너지 준위는 앞에서와 같이
$$ E_{m_l}=\frac{m_l^2\hbar^2}{2m_eR^2},\qquad m_l=0,\pm1,\pm2,\dots $$
이고, 각 준위에는 스핀 때문에 최대 2개의 전자가 들어갈 수 있다.
10개의 전자를 가장 낮은 에너지부터 채우면
\(m_l=0\) 에 2개 \(\Rightarrow\) 전자 수 \(2\)
\(m_l=+1,-1\) 에 각각 2개씩 \(\Rightarrow\) 추가 \(4\)개, 누적 \(6\)
\(m_l=+2,-2\) 에 각각 2개씩 \(\Rightarrow\) 추가 \(4\)개, 누적 \(10\)
이 되므로, 최고 점유 준위(HOMO)는 \(m_l=\pm2\) 준위이다.
각운동량 연산자는
$$ \hat{L}_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\phi} $$
이며, \(\psi_{m_l}(\phi)\) 는 \(\hat{L}_z\) 의 고유함수로서
$$ \hat{L}_z\psi_{m_l}(\phi)=m_l\hbar\,\psi_{m_l}(\phi) $$
이다. 따라서 HOMO에 있는 한 전자의 각운동량 크기는
$$ |L_z| = |m_l|\hbar = 2\hbar $$
이다.
이제 한 개의 \(e_\pi\) 가 들뜨는 데 필요한 최소 에너지, 즉 HOMO \((m_l=\pm2)\) 와 그 다음 비점유 준위(LUMO, \(m_l=\pm3\)) 사이의 에너지 차를 구한다.
$$ E_2=\frac{(2)^2\hbar^2}{2m_eR^2}=\frac{4\hbar^2}{2m_eR^2},\qquad E_3=\frac{(3)^2\hbar^2}{2m_eR^2}=\frac{9\hbar^2}{2m_eR^2} $$
따라서 한 전자가 \(m_l=\pm2\) 에서 \(m_l=\pm3\) 로 들뜰 때 필요한 최소 에너지는
$$ \Delta E = E_3-E_2 = \frac{9\hbar^2}{2m_eR^2}-\frac{4\hbar^2}{2m_eR^2} = \frac{5\hbar^2}{2m_eR^2} $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>