정답
운동방정식은 \(m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega t)\), \(\displaystyle \tan\phi=\frac{b\omega}{k-m\omega^2}\)이며, \(\omega=\sqrt{k/m}\)일 때 \(\displaystyle A=\frac{F_0}{b\omega}=\frac{F_0}{b}\sqrt{\frac{m}{k}}\)이다.
출제 의도
점성 감쇠력과 조화 외력이 작용하는 강제진동에서 뉴턴의 운동법칙으로 미분방정식을 세우고, 정상상태 해의 위상지연과 진폭을 계수 비교로 도출할 수 있는지를 평가한다. 특히 공진 각주파수에서 진폭이 감쇠계수에 의해 제한됨을 확인한다.
풀이 과정
평형위치로부터의 변위를 \(x(t)\)라 하면, 스프링 힘은 \(-kx\), 감쇠력은 속도에 반대방향으로 \(-b\dot x\), 외력은 \(F_0\cos(\omega t)\)이다. 뉴턴의 제2법칙 \(m\ddot x=\sum F\)를 쓰면
$$ m\ddot x=-b\dot x-kx+F_0\cos(\omega t) $$
이므로 운동방정식은
$$ m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega t) $$
이다.
정상상태 해가 \(x(t)=A\cos(\omega t-\phi)\)라고 했으므로
$$ \dot x=-A\omega\sin(\omega t-\phi),\qquad \ddot x=-A\omega^2\cos(\omega t-\phi) $$
를 대입하면
$$ A(k-m\omega^2)\cos(\omega t-\phi)-Ab\omega\sin(\omega t-\phi)=F_0\cos(\omega t) $$
이제 \(\cos(\omega t-\phi)=\cos\omega t\cos\phi+\sin\omega t\sin\phi\), \(\sin(\omega t-\phi)=\sin\omega t\cos\phi-\cos\omega t\sin\phi\)를 이용해 \(\cos\omega t\), \(\sin\omega t\)의 계수를 비교한다.
$$ \begin{aligned} \cos\omega t\text{의 계수: }&A\big((k-m\omega^2)\cos\phi+b\omega\sin\phi\big)=F_0,\\ \sin\omega t\text{의 계수: }&A\big((k-m\omega^2)\sin\phi-b\omega\cos\phi\big)=0. \end{aligned} $$
두 번째 식에서 \((k-m\omega^2)\sin\phi=b\omega\cos\phi\)이므로
$$ \tan\phi=\frac{b\omega}{k-m\omega^2}. $$
또한 위 두 식을 이용하면 진폭은 표준적으로
$$ A=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}. $$
특히 \(\omega=\sqrt{k/m}\)이면 \(k-m\omega^2=0\)이므로
$$ A=\frac{F_0}{b\omega}=\frac{F_0}{b}\sqrt{\frac{m}{k}}. $$
이때 \(\tan\phi\)는 분모가 0이 되어 무한대로 발산하므로 \(\phi=\frac{\pi}{2}\) (외력에 대해 변위가 \(90^\circ\) 지연)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>